2 Esercizi su prolungamento e derivata destra

[ansioso]

ciao ragazzi, questa è la traccia

$f(x)=xlogx \ x>0$
Dopo aver prolungato per continuità $f$ anche in $x=0$ calcolare la sua derivata destra in 0

Per prolungare per continuita f($x)$ in $x$ bisogna calcolarsi il limite $\lim_(x to x_0) f(x)=\lim_(x to 0) xlogx= 0$
$xlogx = \{(xlogx \ -> \ x>0),(0 \ -> \ x=0):}$

Adesso per calcolarmi la derivata destra, altro non devo fare che
$\lim_(h to 0^+) \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_(h to 0^+) \frac{x logx +h - x log x}{h}=h/h=1$


mentre quest'altro esercizio
data $f(x)=e^(-1/x) \ x>0$
prolungo per continuità da destra f in x=0
$\lim_(x to x_0) f(x)=\lim_(x to 0) e^(-1/x)= e^(-1/0)=e^(-infty)=0$
ottenendo dunque
$e^(-1/x) = \{(e^(-1/x) \ -> \ x>0),(0 \ -> \ x=0):}$

calcolando la derivata destra
ottengo dunque

$\lim_(h to 0^+) (e^(-1/x)+h -e^(-1/x))/h$

$xlogx = \{(e^(-1/x) \ -> \ x>0),(0 \ -> \ x=0):}$

sono corretti secondo voi?

[emmeffe90]

"ansioso":[...] per calcolarmi la derivata destra, altro non devo fare che
$\lim_(h to 0^+) \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_(h to 0^+) \frac{x logx +h - x log x}{h}=h/h=1$

Devi calcolarti quel limite per $x=0$, quindi hai
$lim_(h->0^+)(f(0+h)-f(0))/h=lim_(h->0^+)hlogh/h=-oo$
(il tutto modulo miei errori di calcolo).
Allo stesso modo mi riguarderei il secondo.
Ciao

[ansioso]

ma il limite del rapporto inrementale non si calcola per h che tende a zero?

[emmeffe90]

"ansioso":ma il limite del rapporto inrementale non si calcola per h che tende a zero?

Infatti: il limite è $lim_(h->0)(f(x+h)-f(x))/h$, nel tuo caso calcolato per $x=0$.

[ansioso]

"emmeffe90":
$lim_(h->0^+)(f(0+h)-f(0))/h=lim_(h->0^+)hlogh/h=-oo$

non ti seguo...
e questo log da dove esce?

[emmeffe90]

Dunque: $f(x+h)=(x+h)log(x+h)$.
Quindi $(f(x+h)-f(x))/h=((x+h)log(x+h)-xlogx)/h$.
Fin qui ci sei?