2 esercizi di analisi 1
Salve, avrei bisogno di un aiuto su questi due esercizi:
Dire, senza calcolarlo, se il seguente integrale converge
$\int_0^1sin^2(x)dx$
Dimostrare per induzione che
$lim_(x->0+)(e^(-1/x))/x^n$ = 0
suggerimento: trasformare la funzione in $x^(-n)/e^(1/x)$
Dire, senza calcolarlo, se il seguente integrale converge
$\int_0^1sin^2(x)dx$
Dimostrare per induzione che
$lim_(x->0+)(e^(-1/x))/x^n$ = 0
suggerimento: trasformare la funzione in $x^(-n)/e^(1/x)$
Risposte
Ciao Davide,
come da regolamento dovresti postare un tuo tentativo di soluzione.
Ho tolto alcuni / di troppo dalle formule, puoi controllare se sono corrette?
come da regolamento dovresti postare un tuo tentativo di soluzione.
Ho tolto alcuni / di troppo dalle formule, puoi controllare se sono corrette?
dubito che il "suggerimento" abbia qualche senso scritto in quella forma.
Grazie mille. Ho messo il meno che mancava, chiedo scusa.
Sul primo integrale io ipotizzavo un confronto con l'integrale di 1/x , anche se forse è troppo banale. Altrimenti non saprei proprio, cioè non riuscirei a dire se converge senza calcolarlo.
Per il secondo, dopo aver trasformato la funzione come detto e averla verificata in n=1, ho sostituito 1/x = y , e vengono due limiti molto facili, però non sapevo se poteva essere giusto lo stesso come prova per induzione.
Sul primo integrale io ipotizzavo un confronto con l'integrale di 1/x , anche se forse è troppo banale. Altrimenti non saprei proprio, cioè non riuscirei a dire se converge senza calcolarlo.
Per il secondo, dopo aver trasformato la funzione come detto e averla verificata in n=1, ho sostituito 1/x = y , e vengono due limiti molto facili, però non sapevo se poteva essere giusto lo stesso come prova per induzione.
non vorrei dire sciocchezze ma... l'integrale proposto è minore dell'integrale: $\int_0^1 x^2dx$ che converge, per cui...
l'induzione funziona così: impongo che l'asserto valga $n=n$ (un valore di $n$ generico). dimostro che vale per $n+1$, concludo che l'asserto vale per qualsiasi $n$.
l'induzione funziona così: impongo che l'asserto valga $n=n$ (un valore di $n$ generico). dimostro che vale per $n+1$, concludo che l'asserto vale per qualsiasi $n$.
Chiedo scusa, ma non ho capito con cosa potrei confrontare il "mio" integrale.
Per la seconda, ci sono. Ma se io sostituisco 1/x = y, come si può notare, sia la base induttiva che il passo induttivo sono facilmente verificati, va comunque bene?
Per la seconda, ci sono. Ma se io sostituisco 1/x = y, come si può notare, sia la base induttiva che il passo induttivo sono facilmente verificati, va comunque bene?
Il tuo integrale è più piccolo, o uguale, di quello proposto da Ziel, cioè $\int_0^1sin^2(x)dx <= \int_0^1 x^2dx$.
Quindi il secondo è un maggiorante del primo. Se il maggiorante converge, allora per il criterio del confronto il più piccolo fa altrettanto.
Quindi il secondo è un maggiorante del primo. Se il maggiorante converge, allora per il criterio del confronto il più piccolo fa altrettanto.
per l'integrale, basta osservare che $\sin^2x$ è continua in $[0,1]$ e dunque certamente integrabile;
per dimostrare per induzione quel limite, operado la sostituzione: $1/x=t$ equivale a dimostrare per induzione il seguente limite:
\begin{align}
\lim_{t\to+\infty} t^n \cdot e^{-t}=\lim_{t\to+\infty}\frac{t^n }{e^t}=0\qquad\Rightarrow\qquad\lim_{t\to+\infty}\frac{t^{n+1} }{e^t}
\end{align}
cioè
\begin{align}
\lim_{t\to+\infty}\frac{t^{n+1} }{e^t} \stackrel{\bf(H)}{=} \lim_{t\to+\infty}(n+1)\frac{t^n }{e^t} \stackrel{\bf(Hp)}{=}(n+1)\cdot 0=0
\end{align}
\begin{align}
\lim_{t\to+\infty} t^n \cdot e^{-t}=\lim_{t\to+\infty}\frac{t^n }{e^t}=0\qquad\Rightarrow\qquad\lim_{t\to+\infty}\frac{t^{n+1} }{e^t}
\end{align}
cioè
\begin{align}
\lim_{t\to+\infty}\frac{t^{n+1} }{e^t} \stackrel{\bf(H)}{=} \lim_{t\to+\infty}(n+1)\frac{t^n }{e^t} \stackrel{\bf(Hp)}{=}(n+1)\cdot 0=0
\end{align}
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