2 Esercizi

[Sk_Anonymous]

Studiare il carattere della serie di termine generale $a_n=n^(alpha)/(ln^(2-alpha)n)$ al variare del parametro $alpha$ in $RR$.


Posto $f(x)=1/(x+2)$,calcolare $(f^((n))(x))/(n!),AAninNN,n>=1$;verificare l'esattezza del risultato ottenuto procedendo per induzione

[pat871]

2)
$f(x) = (1)/(x+2) = (1)/(2 + a + (x - a)) = (1)/(2+a) (1)/(1 + (x-a)/(2+a)) = (1)/(2+a) \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n ((x-a)^n)/((2+a)^n) = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n ((x-a)^n)/((2+a)^(n+1)) => (f^((n)) (a))/(n!) = ((-1)^n)/((2+a)^(n+1))$


Per induzione:
$n=1$:
$(f'(a))/(1) = (-1)/(a+2)^2 ... OK!$
Supponiamo che sia vera per i primi n termini, cioè la condizione $(f^((n)) (a))/(n!) = ((-1)^n)/((2+a)^(n+1))$ è soddisfatta.
Adesso dimostriamo $n => n+1$:
$f^((n+1))(a) = (d)/(da) f^((n))(a) = (- (-1)^n (n+1) (a+2)^n)/((2+a)^(2n+2)) n! = ((-1)^(n+1) (n+1))/((a+2)^(n+2)) n! = ((-1)^(n+1))/((a+2)^(n+2)) (n+1)!$
e quindi:
$(f^((n+1))(a))/((n+1)!) = ((-1)^(n+1))/((a+2)^(n+2))$
C.V.D.

1)
$a_n = (n^(\alpha))/(ln^(2-\alpha)(n))$
Per $\alpha < -1$:
Abbiamo che $a_n = (1)/(ln^(2 + t)(n) n^t)$ , con $t >1$.
Visto che la serie di $(1)/(n^t)$ , con $t > 1$, converge, e il fattore con il logaritmo è irrilevante per la convergenza della serie, per $\alpha < -1$ la serie converge.
per $\alpha \ge -1$ abbiamo che la serie diverge per lo stesso ragionamento. Il logaritmo rispetto al termine $n^(\alpha)$ non influisce sulla convergenza della serie.