2 esercizi

[Sk_Anonymous]

Esiste il $lim_(x->infty)(e^x+cosx)/(1/x)$?perchè?

Calcolare $int_s^infty1/(1+x^2)dx,s>0

[_nicola de rosa]

"Ainéias":Esiste il $lim_(x->infty)(e^x+cosx)/(1/x)$?perchè?

Calcolare $int_s^infty1/(1+x^2)dx,s>0

su cosa ti blocchi? l'integrale è semplicissimo

[Cheguevilla]

Effettivamente, Ainéias, da te non me lo aspettavo il secondo quesito...

[Sk_Anonymous]

"Cheguevilla":Effettivamente, Ainéias, da te non me lo aspettavo il secondo quesito...

Ehehehe grazie...ma il libro mi dà come risultato $arctg(1/s)$ e non capisco perchè

[Sk_Anonymous]

$[arctgx]_s^infty=arctg(1/s)$?

A me viene $pi/2-arctg(s)$

[_nicola de rosa]

"Ainéias":$[arctgx]_s^infty=arctg(1/s)$?

A me viene $pi/2-arctg(s)$

è la stessa cosa. infatti
$int_{s}^{+infty}1/(1+x^2)dx=int_{s}^{+infty}(1/x^2)/(1+1/x^2)dx=-int_{s}^{+infty}(d(1/x))/(1+1/x^2)=-[arctg(1/x)]_{s}^{+infty}=arctg(1/s)$

[Sk_Anonymous]

"nicola de rosa":[quote="Ainéias"]$[arctgx]_s^infty=arctg(1/s)$?

A me viene $pi/2-arctg(s)$

è la stessa cosa. infatti
$int_{s}^{+infty}1/(1+x^2)dx=int_{s}^{+infty}(1/x^2)/(1+1/x^2)dx=-int_{s}^{+infty}(d(1/x))/(1+1/x^2)=-[arctg(1/x)]_{s}^{+infty}=arctg(1/s)$[/quote]

Forse il libro predilige questa forma perchè più compatta.

[Sk_Anonymous]

Per quanto riguarda il limite?nessuno sa dirmi niente?

[_Tipper]

Il numeratore tende a $+\infty$, il denominatore tende a zero, direi che il limite tende a $+\infty$.

Ci ho preso o ho toppato?

[TomSawyer1]

Anche a me sembra: $lim_(xto+infty)xe^x+xcosx=+infty$. Ma tu lo intendi anche per $xto-infty$?

[Sk_Anonymous]

"Crook": Ma tu lo intendi anche per $xto-infty$?

Si

[_Tipper]

Se tende a $-\infty$ il limite non esiste: il sotto va a $0^-$ ma il sopra oscilla fra $-1$ e $1$.

[Lammah]

abbozzo un ragionamento rischioso ma immediato...

grazie ad un teorema posso dividere per un qualcosa che converge a 0 ed in particolare prendo $1/x$..
noto così che x si semplifica e tutto dipende dal comportamento di $e^x cosx$...
ora, se faccio il $lim_(x-> +oo) e^x + cosx$ questo tende a $+oo$ e quindi diverge... essa ammette sempre limite essendo monotona crescente per x>0 e il limite coindice col sup..
se invece faccio $lim_(x-> -oo) e^x + cosx$ questo oscilla selvaggiamente e non è possibile calcolare il limite... per x<0..

spero di non avere scritto niente di scorretto.. se ho sbagliato correggetemi...

[Ravok]

Nel caso che dici tu, lammah si può ragionare così:
$lim_(x-> -oo) |e^x cosx|<= lim_(x-> -oo) |e^x|=lim_(x-> -oo) e^x0$
Quindi il nostro limite iniziale è maggiorato da un limite che tende a 0, cioè tende a 0 anch'esso. Siccome converge assolutamente, allora il nostro limite di partenza tenderà a 0.

[Lammah]

"Ravok":Nel caso che dici tu, lammah si può ragionare così:
$lim_(x-> -oo) |e^x cosx|<= lim_(x-> -oo) |e^x|=lim_(x-> -oo) e^x0$
Quindi il nostro limite iniziale è maggiorato da un limite che tende a 0, cioè tende a 0 anch'esso. Siccome converge assolutamente, allora il nostro limite di partenza tenderà a 0.

non è $e^x$ che tende a 0?

[Ravok]

E' quello che ho scritto. Se maggiori $ |e^x cosx|$ con $|e^x|$ hai che una quantitè è minore di un'altra che tende a $0$...

[Lammah]

sì giusto quindi per $x -> -oo$ è 0..

[Ravok]

Se quel dividere per $1/x$ è valido...ma ne sei sicuro? Ho qualche dubbio..

[Lammah]

Criterio del confronto asintotico
Siano $sum a_n$ e $sum b_n$ due serie a termini positivi, e supponiamo che si abbia

$lim_(n -> oo) (a_n)/(b_n) = L < +oo$

allora, se la serie $sum b_n$ converge, convergerà anche la serie $sum a_n$.

Quindi ciò che ho fatto prima risulta valido... o no?
Ho semplicemente preso come $sum b_n = sum 1/x$...

[Ravok]

Non hai detto che $b_n$ deve convergere?

[Lammah]

$lim_(x -> oo) 1/x = 0$ quindi converge...