2 domandine di analisi

[el_pampa1]

Mi sono venuti due dubbi:
1) R^n con la distanza euclidea è uno spazio metrico (sono sicuro) completo (è questo il mio dubbio)?
2) una funzione lipschitziana è sempre continua? Secondo me si...
Vorrei delle conferme. Grazie

[Fioravante Patrone1]

sì a tutto

una funzione lipschitziana è anche uniformemente continua

[Dorian1]

1) Si. Lo spazio prodotto è completo se e solo se gli spazi fattori sono completi. Quindi la completezza di $RR$ implica quella di $RR^n$.
2) Si. Sia $f: X->Y$ lipschitziana con $X$,$Y$ spazi metrici. Ovverosia:

$EE K>=0$ tale che $K*d_x(x,y)>=d_y(f(x),f(y))$

Per $x->y$ si ha che, dalla definizione di limite:

$AA r>0$ , $EE N(r) in NN$ tale che $d_x(x,y)<= r$ , $AA n>= N(r)$

e poiche:

$K*d_x(x,y)>=d_y(f(x),f(y))$ , $AA x,y in X$

ne segue che $f(x) -> f(y)$.

[Gaal Dornick]

1) ma il teorema che hai enunciato vale qualunque sia la metrica dello spazio prodotto? Non penso, penso valga solo se la metrica sullo spazio prodotto è la metrica prodotto.. e quindi non vale in questo caso.

[Fioravante Patrone1]

Ma la metrica prodotto e' equivalente a quella euclidea, quindi per la completezza pari sono

[Gaal Dornick]

touchè