$ (1-3x^2)dx - (1-3y^2)dy =0 $ si studino le curve dell'equa

[GDLAN1983]

io penserei di fare così:
$int (1-3x^2)dx = int(1-3y^2)dy $

e quindi : $x-x^3 = y-y^3 +c $

il testo dice oltre che si studino le curve soluzioni dell'equazione differenziale anche:

mettendo in rilievo le simmetrie di ciascuna curva e della famiglia delle curve nel suo complesso.
Nel risultato ottenuto si nota come a sx abbiamo una cubica in x ed a dx una cubica in y + c .
Non saprei cos'altro dire ....

[gugo82]

Non è difficile provare che le curve descritte dall'equazione (che è a variabili separabili) sono le curve di livello della primitiva \(F(x,y)\) della forma differenziale lineare assegnata.

Si vede che tale primitiva è \(F(x,y)=-x^3+y^3+x-y\) e perciò le curve di livello sono simmetriche rispetto all'origine.

[GDLAN1983]

Grazie gugo82. Andare a considerare le curve di livello significa tagliare la curva con un piano parallelo alla base? e quindi in questo caso basta mettere un valore qualsiasi alla x prima ed alla y dopo ? e c che fine ha fatto?

[gugo82]

Un insieme di livello è un insieme del tipo \(F(x,y)=c\); si dimostra che esso è una curva regolare se \(F\in C^1\) e \(\nabla F\) non degenera.