0,1,2-forme differenziali
Sto cercando di capire come pensare le forme differenziali...
Cercando un po' in giro ho trovato questa frase
Ma cosa vuol dire pensare per esempio una 2-forma come rotore di un campo vettoriale? E' corretta? E l'integrale di una 0,1,2-forma come lo penso allora?
Grazie in anticipo
Cercando un po' in giro ho trovato questa frase
0-forme (le funzioni, cioè quelle che possiamo pensare come potenziali), le 1-forme (pensabili come campi vettoriali) e le 2-forme (rotori di campi vettoriali),
Ma cosa vuol dire pensare per esempio una 2-forma come rotore di un campo vettoriale? E' corretta? E l'integrale di una 0,1,2-forma come lo penso allora?
Grazie in anticipo
Risposte
Butta via quella robaccia da fisici 
Assapora questa
Definizione
Una p-forma differenziale è una mappa multilineare alternante \(\alpha : V^p = V \times V \times \cdots \times V \to \mathbb R\).
Multilineare significa che è lineare in ogni argomento; alternante significa che scambiando due argomenti il valore cambia di segno, in formule
\[
\alpha(\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_i, \dots, \mathbf{v}_j, \dots, \mathbf{v}_p) = - \alpha(\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_j, \dots, \mathbf{v}_i, \dots, \mathbf{v}_p).
\]
In parole povere, una p-forma è una funzione che mangia p vettori e restituisce un numero, in modo che rispetti le proprietà di cui sopra.
Per esempio, il differenziale di una funzione \(d f\) è una 1-forma, perché è una mappa multilineare che associa ad un vettore [tipicamente chiamato lo spostamento \(\mathbf{h}\)] il numero \(df(x_0)[\mathbf{h}]\), che poi risulta essere \(<\nabla f(x_0), \mathbf{h}>\).
Purtroppo l'argomento non è facile, ed in un certo senso non credo di averti aiutato, però con una definizione un po' più precisa in mente uno può, andando a cercare i pezzetti mancanti, capire almeno di cosa si parla.
P.s. I matematici veri mi urleranno dietro per aver parlato di forme senza parlare di tensori o di varietà differenziabili. Poco male
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Definizione
Una p-forma differenziale è una mappa multilineare alternante \(\alpha : V^p = V \times V \times \cdots \times V \to \mathbb R\).
Multilineare significa che è lineare in ogni argomento; alternante significa che scambiando due argomenti il valore cambia di segno, in formule
\[
\alpha(\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_i, \dots, \mathbf{v}_j, \dots, \mathbf{v}_p) = - \alpha(\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_j, \dots, \mathbf{v}_i, \dots, \mathbf{v}_p).
\]
In parole povere, una p-forma è una funzione che mangia p vettori e restituisce un numero, in modo che rispetti le proprietà di cui sopra.
Per esempio, il differenziale di una funzione \(d f\) è una 1-forma, perché è una mappa multilineare che associa ad un vettore [tipicamente chiamato lo spostamento \(\mathbf{h}\)] il numero \(df(x_0)[\mathbf{h}]\), che poi risulta essere \(<\nabla f(x_0), \mathbf{h}>\).
Purtroppo l'argomento non è facile, ed in un certo senso non credo di averti aiutato, però con una definizione un po' più precisa in mente uno può, andando a cercare i pezzetti mancanti, capire almeno di cosa si parla.
P.s. I matematici veri mi urleranno dietro per aver parlato di forme senza parlare di tensori o di varietà differenziabili. Poco male
@Frizz: Quella che hai trovato è una identificazione che serve ad inquadrare il calcolo vettoriale classico nel contesto più generale delle forme differenziali. Questo serve a generalizzare alcuni risultati classici ed a introdurre altri miglioramenti di cui non so dirti molto (per esempio mi dicono che questo approccio rende più trasparenti le equazioni di Maxwell, ma non chiedermi perché). Non ti serve a capire meglio le definizioni.
Io penso che la maniera migliore di pensare le forme differenziali semplicemente non esista. Dipende da cosa si fa. Se si sta ragionando in termini fisici, o in termini di calcolo, conviene pensare alle forme differenziali in modo classico, con i $dx$ che rappresentano incrementi infinitesimi e i $dx\wedge dy$ che indicano quadratini infinitesimi, e così via. Se si sta ragionando in termini di topologia algebrica, allora le forme differenziali sono semplicemente una "macchina" algebrica utile perché forma gruppi e spazi vettoriali che ci dicono tante cose sulla topologia della varietà in questione. Eccetera eccetera.
Io penso che la maniera migliore di pensare le forme differenziali semplicemente non esista. Dipende da cosa si fa. Se si sta ragionando in termini fisici, o in termini di calcolo, conviene pensare alle forme differenziali in modo classico, con i $dx$ che rappresentano incrementi infinitesimi e i $dx\wedge dy$ che indicano quadratini infinitesimi, e così via. Se si sta ragionando in termini di topologia algebrica, allora le forme differenziali sono semplicemente una "macchina" algebrica utile perché forma gruppi e spazi vettoriali che ci dicono tante cose sulla topologia della varietà in questione. Eccetera eccetera.
Grazie ad entrambi! Adesso credo di avere le idee più chiare
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