Z[i]/(5+i,8-i)
Ciao a tutti, mi potreste dare una mano?
Dovrei trovare il numero di elementi di $\frac{\mathbb{Z}}{(5+i,8-i)}$
\(\mathbb{Z}\) è euclideo --> UFD, quindi posso fare l'MCD tra 5+i e 8-i che viene 3-2i (dovrei aver fatto i colacoli giusti)
Quindi ho $\frac{\mathbb{Z}}{(3-2i)}$
Inizialmente ho provato a fare così: ho usato un isomorfismo notevole e ho detto:
$\frac{\mathbb{Z}}{(3-2i)} ~= \frac{\frac{\mathbb{Z}[x]}{x^2+1}}{(3-2x)} ~= \frac{\frac{\mathbb{Z}[x]}{x^2+1}}{\frac{(3-2x,x^2+1)}{(x^2+1)}} ~= \frac{\mathbb{Z}[x]}{(3-2x,x^2+1)}$.
Ora, se al posto di $3-2x$ ci fosse un polinomio del tipo $x-a$ saprei cosa fare, ma così invece no (2 non è invertibile in Z insomma). Consigli?
Avevo anche provato a impostare il discorso cercando di trovare direttamente come fossero fatti gli elementi di $\frac{\frac{\mathbb{Z}[x]}{x^2+1}}{(3-2x)}$. Mi veniva che erano 6 (ma forse ho fatto degli errori giganti), e precisamente $0, 1, 2, x, x+1, x+2$. Ha senso?
EDIT: ho risolto considerando $Z$ come $Z^2$ e $(3)$ come l'ideale generato da 3 e 3i.
Se qualcuno avesse delle considerazioni da fare sono comunque ben accette
Dovrei trovare il numero di elementi di $\frac{\mathbb{Z}}{(5+i,8-i)}$
\(\mathbb{Z}\) è euclideo --> UFD, quindi posso fare l'MCD tra 5+i e 8-i che viene 3-2i (dovrei aver fatto i colacoli giusti)
Quindi ho $\frac{\mathbb{Z}}{(3-2i)}$
Inizialmente ho provato a fare così: ho usato un isomorfismo notevole e ho detto:
$\frac{\mathbb{Z}}{(3-2i)} ~= \frac{\frac{\mathbb{Z}[x]}{x^2+1}}{(3-2x)} ~= \frac{\frac{\mathbb{Z}[x]}{x^2+1}}{\frac{(3-2x,x^2+1)}{(x^2+1)}} ~= \frac{\mathbb{Z}[x]}{(3-2x,x^2+1)}$.
Ora, se al posto di $3-2x$ ci fosse un polinomio del tipo $x-a$ saprei cosa fare, ma così invece no (2 non è invertibile in Z insomma). Consigli?
Avevo anche provato a impostare il discorso cercando di trovare direttamente come fossero fatti gli elementi di $\frac{\frac{\mathbb{Z}[x]}{x^2+1}}{(3-2x)}$. Mi veniva che erano 6 (ma forse ho fatto degli errori giganti), e precisamente $0, 1, 2, x, x+1, x+2$. Ha senso?
EDIT: ho risolto considerando $Z$ come $Z^2$ e $(3)$ come l'ideale generato da 3 e 3i.
Se qualcuno avesse delle considerazioni da fare sono comunque ben accette
Risposte
Io non ho capito come hai risolto; e comunque, il secondo isomorfismo di anelli che hai scritto è sbagliato!
Sì ma infatti ho sbagliato a scrivere: come gruppo $Z~=Z^2$ quindi $\frac{\mathbb{Z}}{(3-2i)} ~= \frac{\mathbb{Z}^2}{gp((3,-2)(2,3))} ~= \mathbb{Z}_13$
Secondo me gli isomorfismi sono giusti: cosa c'è di sbagliato?
EDIT: per dire che $\frac{\mathbb{Z}^2}{gp((3,-2)(2,3))} ~= \mathbb{Z}_13$ ho usato una cosa che ho letto in una dispensa:
$\frac{\mathbb{Z}^2}{gp((3,-2)(2,3))} ~= det((3,-2),(2,3))$. Ma perché succede questo?
Secondo me gli isomorfismi sono giusti: cosa c'è di sbagliato?
EDIT: per dire che $\frac{\mathbb{Z}^2}{gp((3,-2)(2,3))} ~= \mathbb{Z}_13$ ho usato una cosa che ho letto in una dispensa:
$\frac{\mathbb{Z}^2}{gp((3,-2)(2,3))} ~= det((3,-2),(2,3))$. Ma perché succede questo?
gp?
E mi spieghi come può essere un anello isomorfo a un determinante di matrici?
E mi spieghi come può essere un anello isomorfo a un determinante di matrici?
con gp intendo "gruppo generato da" (lo usiamo nel corso di algebra e credevo che fosse una notazione standard).
Ma non intendevo isomorfo al determinante scusa, sono un idiota, volevo dire $\frac{\mathbb{Z}^2}{gp((3,-2)(2,3))} ~= \mathbb {Z}_det((3,-2),(2,3))=mathbb {Z}_13$ Scusa già sono casinista di mio ma quando scrivo in Latex (o quello che è, non lo so ancora usare - so che dovrò imparare) le sparo grosse
Comunque del fatto che sia isomorfo a $\mathbb {Z}_13$ mi sono convinto ma non ho capito perché posso direttamente fare il determinante di quella matrice per dirlo
Ma non intendevo isomorfo al determinante scusa, sono un idiota, volevo dire $\frac{\mathbb{Z}^2}{gp((3,-2)(2,3))} ~= \mathbb {Z}_det((3,-2),(2,3))=mathbb {Z}_13$ Scusa già sono casinista di mio ma quando scrivo in Latex (o quello che è, non lo so ancora usare - so che dovrò imparare) le sparo grosse
Comunque del fatto che sia isomorfo a $\mathbb {Z}_13$ mi sono convinto ma non ho capito perché posso direttamente fare il determinante di quella matrice per dirlo
Non conosco quel risultato...
Dalla relazione $13=(5+i)+(8-i)$ segue che l’ideale $(5+i,8-i)$ e’ uguale a $(5+i,13)$.
Ora
$ZZ//(5+i,13)\cong ZZ[X]//(X^2+1,5+X,13) \cong ZZ_{13}[X]//(X^2+1,X+5)$.
Dal fatto che $X+5$ divide $X^2+1$ in $ZZ_{13}[X]$ segue che l'anello e’ isomorfo a
$ZZ_{13}[X]//(X+5)\cong \ZZ_13$.
Ora
$ZZ//(5+i,13)\cong ZZ[X]//(X^2+1,5+X,13) \cong ZZ_{13}[X]//(X^2+1,X+5)$.
Dal fatto che $X+5$ divide $X^2+1$ in $ZZ_{13}[X]$ segue che l'anello e’ isomorfo a
$ZZ_{13}[X]//(X+5)\cong \ZZ_13$.
Ti ringrazio Stickelberger! Mi sento un po' scemo a non averlo visto 
@Stickelberger C'è sempre qualcosa da imparare da te...
Il risultato generale è che [tex]\left| \frac{\mathbb{Z}}{(a+ib)} \right| = a^2+b^2[/tex]. Per una dimostrazione vedi qui pagina 20.
Grazie Martino!
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