Zero-divisori di un anello finito
Ciao,
vorrei dimostrare che "gli zero-divisori di un anello finito sono tutti gli elementi non invertibili diversi da zero".
Ho buttato giù questo ragionamento...
$A={0, 1, a_3, ..., a_n}$
Se $a_3$ è un elemento non invertibile, considero $a_3^m$ con $m > n$. Allora $a_3^m$ sarà uguale a uno degli elementi di A, essendo A finito. Ho diversi casi:
- se $a_3^m = 0$, $a_3$ è un divisore dello zero e passo a considerare $a_4$
- non può essere $a_3^m = 1$ altrimenti $a_3$ sarebbe invertibile
- se $a_3^m = a_3$, allora $a_3(a_3^(m-1)-1) = 0$ e quindi $a_3$ è uno zero-divisore (perché per ipotesi non è zero né è invertibile)
- se $a_3^m = a_i$ ($i \ne 3$), allora neanche $a_i$ può essere invertibile, altrimenti ne deriverebbe l'invertibilità di $a_3$
Non riesco ad afferrare (perché i casi diventano tanti, mi incasino) se ripetendo il ragionamento con gli altri elementi si può concludere qualcosa...
Voi come lo dimostrereste? Poi magari è una cavolata, anche perché nel testo (nello svolgimento di un esercizio) è dato come una cosa abbastanza ovvia...
vorrei dimostrare che "gli zero-divisori di un anello finito sono tutti gli elementi non invertibili diversi da zero".
Ho buttato giù questo ragionamento...
$A={0, 1, a_3, ..., a_n}$
Se $a_3$ è un elemento non invertibile, considero $a_3^m$ con $m > n$. Allora $a_3^m$ sarà uguale a uno degli elementi di A, essendo A finito. Ho diversi casi:
- se $a_3^m = 0$, $a_3$ è un divisore dello zero e passo a considerare $a_4$
- non può essere $a_3^m = 1$ altrimenti $a_3$ sarebbe invertibile
- se $a_3^m = a_3$, allora $a_3(a_3^(m-1)-1) = 0$ e quindi $a_3$ è uno zero-divisore (perché per ipotesi non è zero né è invertibile)
- se $a_3^m = a_i$ ($i \ne 3$), allora neanche $a_i$ può essere invertibile, altrimenti ne deriverebbe l'invertibilità di $a_3$
Non riesco ad afferrare (perché i casi diventano tanti, mi incasino) se ripetendo il ragionamento con gli altri elementi si può concludere qualcosa...
Voi come lo dimostrereste? Poi magari è una cavolata, anche perché nel testo (nello svolgimento di un esercizio) è dato come una cosa abbastanza ovvia...
Risposte
Se $a in A$ è non invertibile allora la funzione $f:A \to A$, $f(x)=ax$ non è suriettiva (infatti non esiste nessun $x$ tale che $f(x)=1$) quindi per il principio dei cassetti (che si può applicare perché $A$ è finito) $f$ non è iniettiva. Riesci a concludere? 
Ricordo che il principio dei cassetti (una sua possibile formulazione) dice esattamente che se $X$ e $Y$ sono due insiemi finiti della stessa cardinalità allora una funzione $X to Y$ è iniettiva se e solo se è suriettiva.
Ricordo che il principio dei cassetti (una sua possibile formulazione) dice esattamente che se $X$ e $Y$ sono due insiemi finiti della stessa cardinalità allora una funzione $X to Y$ è iniettiva se e solo se è suriettiva.
Ciao!
Il ragionamento va bene(una cosa simile si fa per dimostrare che un dominio di integrità finito è un campo) ma come concludi nell'ultimo caso?
I casi poi possono essere ridotti a $2$, ad occhio.
Hint per un'altra dimostazione:
Ciao
Edit: ninjato da martino
Il ragionamento va bene(una cosa simile si fa per dimostrare che un dominio di integrità finito è un campo) ma come concludi nell'ultimo caso?
I casi poi possono essere ridotti a $2$, ad occhio.
Hint per un'altra dimostazione:
Ciao
Edit: ninjato da martino
Ciao Martino e Shocker, grazie a entrambi per gli spunti 
mmm... mi verrebbe da dire che, poiché f non è iniettiva, esistono due elementi distinti $x_i$ e $x_j$ tali che $f(x_i) = f(x_j)$, cioè $ax_i - ax_j$ e $a(x_i - x_j) = 0$. Poiché $x_i \ne x_j$, allora $a$ è un divisore dello zero.
Come ultimo caso intendi questo?
non mi viene in mente niente di utile.... avevo pensato di elevare ancora alla m per ragionare su $a_i$ ma non mi pare una buona idea...
[EDIT] cmq la dimostrazione proposta da Martino e da te nell'hint è molto più snella, quindi "tengo" quella
"Martino":
Se a∈A è non invertibile allora la funzione f:A→A, f(x)=ax non è suriettiva (infatti non esiste nessun x tale che f(x)=1) quindi per il principio dei cassetti (che si può applicare perché A è finito) f non è iniettiva. Riesci a concludere?
mmm... mi verrebbe da dire che, poiché f non è iniettiva, esistono due elementi distinti $x_i$ e $x_j$ tali che $f(x_i) = f(x_j)$, cioè $ax_i - ax_j$ e $a(x_i - x_j) = 0$. Poiché $x_i \ne x_j$, allora $a$ è un divisore dello zero.
"Shocker":
Il ragionamento va bene(una cosa simile si fa per dimostrare che un dominio di integrità finito è un campo) ma come concludi nell'ultimo caso?
Come ultimo caso intendi questo?
"jitter":
se a_3^m=ai (i≠3), allora neanche ai può essere invertibile, altrimenti ne deriverebbe l'invertibilità di a_3
non mi viene in mente niente di utile.... avevo pensato di elevare ancora alla m per ragionare su $a_i$ ma non mi pare una buona idea...
[EDIT] cmq la dimostrazione proposta da Martino e da te nell'hint è molto più snella, quindi "tengo" quella
Ciao
mmm... mi verrebbe da dire che, poiché f non è iniettiva, esistono due elementi distinti $ x_i $ e $ x_j $ tali che $ f(x_i) = f(x_j) $, cioè $ ax_i - ax_j $ e $ a(x_i - x_j) = 0 $. Poiché $ x_i \ne x_j $, allora $ a $ è un divisore dello zero.
[/quote]
Boom, and the winner is... jitter
Come ultimo caso intendi questo?
non mi viene in mente niente di utile.... avevo pensato di elevare ancora alla m per ragionare su $ a_i $ ma non mi pare una buona idea...
[EDIT] cmq la dimostrazione proposta da Martino e da te nell'hint è molto più snella, quindi "tengo" quella[/quote]
No sei sulla buona strada, solo che non devi elevare ma considerare altre potenze di $a$: certamente sai che $a^m = a_i$, adesso, continuando a considerare le potenze di $a$ e data la cardinalità finita di $A$, hai che esiste un certo $n \in \mathbb{N}$ per cui $a^n = a^m$, con $n > m$, da cui $a^m(a^{n-m} - 1) = 0$, $a^{m-n} != 1$ perché non è invertibile e quindi hai la tesi.
"jitter":
Ciao Martino e Shocker, grazie a entrambi per gli spunti
[quote="Martino"]Se a∈A è non invertibile allora la funzione f:A→A, f(x)=ax non è suriettiva (infatti non esiste nessun x tale che f(x)=1) quindi per il principio dei cassetti (che si può applicare perché A è finito) f non è iniettiva. Riesci a concludere?
mmm... mi verrebbe da dire che, poiché f non è iniettiva, esistono due elementi distinti $ x_i $ e $ x_j $ tali che $ f(x_i) = f(x_j) $, cioè $ ax_i - ax_j $ e $ a(x_i - x_j) = 0 $. Poiché $ x_i \ne x_j $, allora $ a $ è un divisore dello zero.
[/quote]
Boom, and the winner is... jitter
"jitter":
[quote="Shocker"]Il ragionamento va bene(una cosa simile si fa per dimostrare che un dominio di integrità finito è un campo) ma come concludi nell'ultimo caso?
Come ultimo caso intendi questo?
"jitter":
se a_3^m=ai (i≠3), allora neanche ai può essere invertibile, altrimenti ne deriverebbe l'invertibilità di a_3
non mi viene in mente niente di utile.... avevo pensato di elevare ancora alla m per ragionare su $ a_i $ ma non mi pare una buona idea...
[EDIT] cmq la dimostrazione proposta da Martino e da te nell'hint è molto più snella, quindi "tengo" quella[/quote]
No sei sulla buona strada, solo che non devi elevare ma considerare altre potenze di $a$: certamente sai che $a^m = a_i$, adesso, continuando a considerare le potenze di $a$ e data la cardinalità finita di $A$, hai che esiste un certo $n \in \mathbb{N}$ per cui $a^n = a^m$, con $n > m$, da cui $a^m(a^{n-m} - 1) = 0$, $a^{m-n} != 1$ perché non è invertibile e quindi hai la tesi.
Ciao Shoker,
scusa l'imbranataggine
, ma qui non riesco a spiegarmi perché non potrebbe essere che tutte le potenze di $a$ sono uguali a potenze di elementi di A diversi da $a$, e mai a un'altra potenza di $a$...
"Shocker":
No sei sulla buona strada, solo che non devi elevare ma considerare altre potenze di $a$: certamente sai che $a^m = a_i$, adesso, continuando a considerare le potenze di $a$ e data la cardinalità finita di $A$, hai che esiste un certo $n \in \mathbb{N}$ per cui $a^n = a^m$, con $n > m$, da cui $a^m(a^{n-m} - 1) = 0$, $a^{m-n} != 1$ perché non è invertibile e quindi hai la tesi.
scusa l'imbranataggine
, ma qui non riesco a spiegarmi perché non potrebbe essere che tutte le potenze di $a$ sono uguali a potenze di elementi di A diversi da $a$, e mai a un'altra potenza di $a$...
Ciao!
scusa l'imbranataggine , ma qui non riesco a spiegarmi perché non potrebbe essere che tutte le potenze di $a$ sono uguali a potenze di elementi di A diversi da $a$, e mai a un'altra potenza di $a$...[/quote]
E' più semplice di quanto pensi.
Innanzitutto una premessa: il caso $a$ nilpotente l'abbiamo già trattato, per cui supponiamo che non sia nilpotente.
Consideriamo le potenze di $a$: $a, a^2, a^3, ..., a^m, ...$ tutte queste potenze sono in $A$(perché è chiuso rispetto al prodotto, essendo un anello), che è finito. Adesso io di potenze ne posso considerare infinite(a non è nilpotente, ricorda!) per cui, data la cardinalità finita di $A$, almeno due si ripetono, cioè esistono almeno due interi $m, n$ per cui $a^m = a^n$. Per convincertene pensa che se fossero tutte distinte allora $A$ sarebbe infinito!(assurdo sotto le nostre ipotesi!).
Quindi se io per un certo $m$ ho che $a^m = a_i$, allora continuando a considerare potenze troverò un certo $n$ per cui $a^n = a_i$, da cui $a^n = a^m$. E' più chiaro?
"jitter":
Ciao Shoker,
[quote="Shocker"]
No sei sulla buona strada, solo che non devi elevare ma considerare altre potenze di $a$: certamente sai che $a^m = a_i$, adesso, continuando a considerare le potenze di $a$ e data la cardinalità finita di $A$, hai che esiste un certo $n \in \mathbb{N}$ per cui $a^n = a^m$, con $n > m$, da cui $a^m(a^{n-m} - 1) = 0$, $a^{m-n} != 1$ perché non è invertibile e quindi hai la tesi.
scusa l'imbranataggine
, ma qui non riesco a spiegarmi perché non potrebbe essere che tutte le potenze di $a$ sono uguali a potenze di elementi di A diversi da $a$, e mai a un'altra potenza di $a$...[/quote]E' più semplice di quanto pensi.
Innanzitutto una premessa: il caso $a$ nilpotente l'abbiamo già trattato, per cui supponiamo che non sia nilpotente.
Consideriamo le potenze di $a$: $a, a^2, a^3, ..., a^m, ...$ tutte queste potenze sono in $A$(perché è chiuso rispetto al prodotto, essendo un anello), che è finito. Adesso io di potenze ne posso considerare infinite(a non è nilpotente, ricorda!) per cui, data la cardinalità finita di $A$, almeno due si ripetono, cioè esistono almeno due interi $m, n$ per cui $a^m = a^n$. Per convincertene pensa che se fossero tutte distinte allora $A$ sarebbe infinito!(assurdo sotto le nostre ipotesi!).
Quindi se io per un certo $m$ ho che $a^m = a_i$, allora continuando a considerare potenze troverò un certo $n$ per cui $a^n = a_i$, da cui $a^n = a^m$. E' più chiaro?
"Shocker":
Adesso io di potenze ne posso considerare infinite(a non è nilpotente, ricorda!) per cui, data la cardinalità finita di $A$, almeno due si ripetono
Molto chiaro, sei stato gentilissimo!
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