Zero divisore
Volevo porvi gentilmente una domanda sugli zero divisori.
In un anello commutativo (A,+,·) un elemento non nullo a≠0 dell'insieme A è detto divisore dello zero se esiste un b≠0 dell'insieme A tale che ab=0 ∃ a,b∈A , a≠0 , b≠0 | a⋅b=0
Ma notavo una certo legame con la legge di annullamento del prodotto. Tuttavia non lo trovo esplicitamente scritto nel testo e volevo capire se sbaglio a interpretare qualcosa.
Noi sappiamo che la legge di annullamento (del prodotto) dice:
$a*b=0 <=> a=0 or b=0$ (1)
D'altra parte potrei sfruttare la contronominale (p=>q) => (¬q =>¬p) unita a de morgan
$a*b≠0 <=> a≠0 and b≠0$ (2)
Insomma, 1 e 2 esprimono la mesedima cosa.
Ora, se io nego: per ogni a $a≠0 and b≠0 => a*b≠0$
ossia:
non per ogni $a≠0 and b≠0 => a*b≠0$
quindi ho che esiste almeno un caso in cui l'implicazione è falsa, o in altri termini detto esiste almeno un caso in cui l'antecedente è vero ma il conseguente è falso
esiste $a≠0 and b≠0 and a*b=0$
ossia riscrivibile come: esiste a≠0 and b≠0 t.c a*b=0
Quindi se nego una implicazione della legge di annullamento del prodotto ho che ho zero divisori, e anche che se ho zero divisori non vale la legge di annullamento del prodotto. E' corretto?
E' che ho solo una infarinatura liceale (di parecchi anni fa di logica) e non vorrei sbagliare, però mi sembra tornare. Mi è sorto il dubbio in realtà seguendo algebra lineare e non ho ancora affrontato algebra in senso stretto quindi mi scuso per le castronerie dette
In un anello commutativo (A,+,·) un elemento non nullo a≠0 dell'insieme A è detto divisore dello zero se esiste un b≠0 dell'insieme A tale che ab=0 ∃ a,b∈A , a≠0 , b≠0 | a⋅b=0
Ma notavo una certo legame con la legge di annullamento del prodotto. Tuttavia non lo trovo esplicitamente scritto nel testo e volevo capire se sbaglio a interpretare qualcosa.
Noi sappiamo che la legge di annullamento (del prodotto) dice:
$a*b=0 <=> a=0 or b=0$ (1)
D'altra parte potrei sfruttare la contronominale (p=>q) => (¬q =>¬p) unita a de morgan
$a*b≠0 <=> a≠0 and b≠0$ (2)
Insomma, 1 e 2 esprimono la mesedima cosa.
Ora, se io nego: per ogni a $a≠0 and b≠0 => a*b≠0$
ossia:
non per ogni $a≠0 and b≠0 => a*b≠0$
quindi ho che esiste almeno un caso in cui l'implicazione è falsa, o in altri termini detto esiste almeno un caso in cui l'antecedente è vero ma il conseguente è falso
esiste $a≠0 and b≠0 and a*b=0$
ossia riscrivibile come: esiste a≠0 and b≠0 t.c a*b=0
Quindi se nego una implicazione della legge di annullamento del prodotto ho che ho zero divisori, e anche che se ho zero divisori non vale la legge di annullamento del prodotto. E' corretto?
E' che ho solo una infarinatura liceale (di parecchi anni fa di logica) e non vorrei sbagliare, però mi sembra tornare. Mi è sorto il dubbio in realtà seguendo algebra lineare e non ho ancora affrontato algebra in senso stretto quindi mi scuso per le castronerie dette
Risposte
"triceraTOPO":No, la negazione è che esistono $a,b$ diversi da zero con $ab=0$.
ossia da and=t.c: esiste a≠0 and b≠0 t.c a*b≠0
Perdonami, ho visto che hai già risposto ma ero ancora in fase di editing perché mi ero accorto di una svista.
Se ti va potresti ridaci un occhio alla nuova versione?
Ti ringrazio.
Se ti va potresti ridaci un occhio alla nuova versione?
Ti ringrazio.
"triceraTOPO":
Quindi se nego una implicazione della legge di annullamento del prodotto ho che ho zero divisori, e anche che se ho zero divisori non vale la legge di annullamento del prodotto. E' corretto?
Corretto. In altre parole l'esistenza di zero divisori è equivalente alla negazione della legge di annullamento del prodotto.
Ti ringrazio molto per il tuo aiuto 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo