Z/7Z*

[N56VZ]

Ciao ragazzi, quello che sto per chiedere è na stron.... ne sono certo, ma non riesco
devo verificare che Z/7Z* è generato da 3 segnato, come faccio?

[SaraSueEss]

$ZZ$ $/$ $7ZZ$* é un gruppo ciclico di ordine finito $\varphi(7) = 6$, perciò avrà $\varphi(6) = 2$ generatori, ovvero gli elementi di ordine $6$ (che sappiamo esistere per Cauchy, e che saranno uno l'inverso dell'altro).
Se $3$ é un generatore allora $ZZ$ $/$ $7ZZ$* = <$3$> e quindi $ZZ$ $/$ $7ZZ$* contierrà tutte e sole le potenze intere di $3$.
Basta verificare questo.

$3 = 3$
$3^2 = 9 -= 2$
$3^3 -= 6$
$3^4 = 18 -= 4$
$3^5 = 12 -= 5$
$3^6 -= 1$

Gli elementi dei due gruppi coincidono.

[N56VZ]

ok grazie mille, l'altro generatore è 2, esatto?
sarebbe possibile dire che z/2z x z/6z è isomorfo a z/21z allora?

[Gi81]

L'altro generatore non è $2$. Infatti $2$ ha ordine $3$, dal momento che $2^3=8-=1 (mod 7)$

[SaraSueEss]

Come ho già scritto, l'altro generatore è l'inverso moltiplicativo di $3$ in $ZZ$ $/$ $7ZZ$*, ovvero $5$
in quanto $3*5-=1$ $(mod 7)$

$5 -= 5$
$5^2 -= 4$
$5^3 -= 6$
$5^4 -= 2$
$5^5 -= 3$
$5^6 -= 1$