Vero o falso?
Ho un dubbio sulla 4) per gli altri penso di esserci, ma se aveste voglia di dare un occhiata alla mia argomentazione ve ne sarei grato.
Tra le seguenti affermazioni quale è vera e quale è falsa? Dare una giustificazione.
Poniamo \(A = \mathbb{Z}[i \sqrt{7}] \) e \( B= \mathbb{C} \).
1) Allora \(A\) è un ideale di \(B\).
2) Allora \(A\) è un sotto-anello di \(B\).
3) Allora \(A\) è un campo.
4) Allora \(A\) è un dominio euclideo.
5) Allora \(A\) è un dominio d'integrità.
1) Falso
Giustificazione: \( \sqrt{2} \cdot (1 + i \sqrt{7} ) \not\in \mathbb{Z}[i \sqrt{7}]:= \{ a+bi\sqrt{7} : a,b \in \mathbb{Z} \} \) e se fosse un ideale allora dovremmo avere che per ogni \( b \in B \) e \(a \in A \) avremmo che \( ba \in A \) (ideale sinistro) e \(ab \in A \) (ideale destro).
2) Vero
Giustificazione: Abbiamo per la proprietà universale, dato un omomorfismo \( f : \mathbb{Z} \to B \) e l'inclusione \( i: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}[t] \) abbiamo l' evalution (non so tradurlo sorry) \(ev_{i\sqrt{7}} \) è un omomorfismo e dunque la sua immagine è un sotto-anello di \( \mathbb{C}\). Inoltre il triangolo commuta.
ora l'immagine \(\mathbb{Z}[t] \) tramite \( ev_{i\sqrt{7}} \) è \( \mathbb{Z}[i \sqrt{7}] \), che è il più piccolo sotto-annello di \( \mathbb{C} \) che contiene sia \( \mathbb{Z} \) che \( i \sqrt{7} \).
3) Falso
Giustificazione: \(A\) non è un campo in quanto il campo delle frazioni di un campo è se stesso ma il campo delle frazioni di \(A\) è \( \mathbb{Q}[i\sqrt{7}] = \{ a+b i \sqrt{7} : a,b \in \mathbb{Q} \} \neq \mathbb{Z} [i \sqrt{7} ] \).
4) Direi vero, ma ho dubbi che sia falso.
Giustificazione: Io direi vero poiché \( \mathbb{C} \) è un dominio euclideo (un sottoanello di un dominio euclideo è un dominio euclideo?) e userei il modulo al quadrato come funzione euclidea. Come per i complessi o come per gli interi di gauss (i.e. \( \mathbb{Z} \) ). Però ho qualche dubbio.
5) Vero
Giustificazione: è sotto-anello di un campo dunque è un dominio d'integrità.
Tra le seguenti affermazioni quale è vera e quale è falsa? Dare una giustificazione.
Poniamo \(A = \mathbb{Z}[i \sqrt{7}] \) e \( B= \mathbb{C} \).
1) Allora \(A\) è un ideale di \(B\).
2) Allora \(A\) è un sotto-anello di \(B\).
3) Allora \(A\) è un campo.
4) Allora \(A\) è un dominio euclideo.
5) Allora \(A\) è un dominio d'integrità.
1) Falso
Giustificazione: \( \sqrt{2} \cdot (1 + i \sqrt{7} ) \not\in \mathbb{Z}[i \sqrt{7}]:= \{ a+bi\sqrt{7} : a,b \in \mathbb{Z} \} \) e se fosse un ideale allora dovremmo avere che per ogni \( b \in B \) e \(a \in A \) avremmo che \( ba \in A \) (ideale sinistro) e \(ab \in A \) (ideale destro).
2) Vero
Giustificazione: Abbiamo per la proprietà universale, dato un omomorfismo \( f : \mathbb{Z} \to B \) e l'inclusione \( i: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}[t] \) abbiamo l' evalution (non so tradurlo sorry) \(ev_{i\sqrt{7}} \) è un omomorfismo e dunque la sua immagine è un sotto-anello di \( \mathbb{C}\). Inoltre il triangolo commuta.
[tex]\xymatrix{
\mathbb{Z} \ar[r]^{i} \ar[dr]_{f}& \mathbb{Z}[t] \ar[d]^{ev_{i\sqrt{7}}} \\
& \mathbb{C} &&
}[/tex]
\mathbb{Z} \ar[r]^{i} \ar[dr]_{f}& \mathbb{Z}[t] \ar[d]^{ev_{i\sqrt{7}}} \\
& \mathbb{C} &&
}[/tex]
ora l'immagine \(\mathbb{Z}[t] \) tramite \( ev_{i\sqrt{7}} \) è \( \mathbb{Z}[i \sqrt{7}] \), che è il più piccolo sotto-annello di \( \mathbb{C} \) che contiene sia \( \mathbb{Z} \) che \( i \sqrt{7} \).
3) Falso
Giustificazione: \(A\) non è un campo in quanto il campo delle frazioni di un campo è se stesso ma il campo delle frazioni di \(A\) è \( \mathbb{Q}[i\sqrt{7}] = \{ a+b i \sqrt{7} : a,b \in \mathbb{Q} \} \neq \mathbb{Z} [i \sqrt{7} ] \).
4) Direi vero, ma ho dubbi che sia falso.
Giustificazione: Io direi vero poiché \( \mathbb{C} \) è un dominio euclideo (un sottoanello di un dominio euclideo è un dominio euclideo?) e userei il modulo al quadrato come funzione euclidea. Come per i complessi o come per gli interi di gauss (i.e. \( \mathbb{Z} \) ). Però ho qualche dubbio.
5) Vero
Giustificazione: è sotto-anello di un campo dunque è un dominio d'integrità.
Risposte
Non è vero che un sottoanello di un dominio eculideo è euclideo: prendi un dominio di integrità non euclideo; questo è un sottoanello del suo campo dei quozienti che è euclideo perchè tutti i campi lo sono.
Hai ragione, quello è falso per di più \( \mathbb{Z}[i\sqrt{7}] \) non è euclideo perché sarebbe principale e dunque sarebbe fattoriale ma \( 8 = 2^3 = (1-i\sqrt{7})(1+i \sqrt{7}) \) che sono due decomposizioni in fattori irreducibili ma non sono associate quindi l'unicità essenziale cade poiché sono in numero diverso (una ha 3 fattori irreducibili l'altra ne ha 2).
Questo vuol dire che il modulo non è una funzione euclidea di \( \mathbb{Z}[i \sqrt{7} ] \)...
Questo vuol dire che il modulo non è una funzione euclidea di \( \mathbb{Z}[i \sqrt{7} ] \)...
No, $1+\sqrt{-7}$ non è affatto irriducibile, dal momento che 2 è un suo divisore proprio. Inoltre quell'anello è un PID.
"hydro":
No, $1+\sqrt{-7}$ non è affatto irriducibile, dal momento che 2 è un suo divisore proprio. Inoltre quell'anello è un PID.
Cos'è un PID?
Comunque no scusa, è irriducibile, \(2\) come fa a dividere \( 1 + i \sqrt{7} \)?
\[ \left| 1 + i \sqrt{7} \right|^2 = 1 + 7 = 8 \]
dunque abbiamo che se non fosse irriducibile esistono due numeri \( a,b \in \mathbb{Z}[i \sqrt{7}] \) tale che \( 1 + i \sqrt{7} = ab \), ma essendo la norma moltiplicativa abbiamo che
\[ \left| a \right|^2 \left| b \right|^2 = 8 \]
Dunque \( \left| a \right|^2 \in \{ 8,4,2,1\} \)
ma non esistono due numeri interi \(x,y \) tale che \( \left| x + y i \sqrt{7}\right|^2 =2 \), infatti
avremmo \( x^2 + y^2 7 = 2 \) se \( y=0 \) allora \( x = \pm \sqrt{2} \) se \( x=0 \) avremmo \( y = \pm \sqrt{ \frac{2}{7} } \). Quindi sia \(x \) che \(y \) non sono zero. Pertanto \( x^2,y^2 \geq 1 \) e dunque \( x^2 + y^2 7 \geq 8 \).
edit:
Pertanto se \( \left| b \right|^2 = 4 \) (che è possibile) non può esistere un fattore irriducibile \(a\) tale che \( ab = 1 + i \sqrt{7} \).
Infatti \( b = 2 \). Ma non esiste nessun fattore irriducibile tale che \( 2 a = 1 + i \sqrt{7} \). Perché \( \left| a \right|^2 = 2 \) ma ciò non è possibile.
Scusami errore mio stavo pensando all'anello degli interi di $\mathbb Q(\sqrt{-7})$ e non a $\mathbb Z[\sqrt{-7}]$. Allora è giusto quel che dici. PID=principal ideal domain
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