Verificare se un ideale è primo e calcolare l'ideale massimale che lo contiene
Ciao a tutti ragazzi, non riesco a svolgere questo esercizio:
"Nell'anello $ZZ_2[x]$ si consideri l'ideale $ I = (x^4 + x^2 + 1) $. Dire se $ I $ è un ideale primo e provare che è contenuto in un unico ideale massimale."
il polinomio $ x^4 + x^2 + 1 $ è irriducibile in $ZZ_2[x]$ perciò $ I $ dovrebbe essere un ideale primo.. ma come calcolo l'unico ideale massimale che lo contiene? E poi.. se $I$ è irriducibile in $ZZ_2[x]$ che è un dominio ad ideali principali..... $I$ non dovrebbe essere anche massimale essendo irriducibile?
"Nell'anello $ZZ_2[x]$ si consideri l'ideale $ I = (x^4 + x^2 + 1) $. Dire se $ I $ è un ideale primo e provare che è contenuto in un unico ideale massimale."
il polinomio $ x^4 + x^2 + 1 $ è irriducibile in $ZZ_2[x]$ perciò $ I $ dovrebbe essere un ideale primo.. ma come calcolo l'unico ideale massimale che lo contiene? E poi.. se $I$ è irriducibile in $ZZ_2[x]$ che è un dominio ad ideali principali..... $I$ non dovrebbe essere anche massimale essendo irriducibile?
Risposte
Occhio, quel polinomio non è irriducibile.
Grazie Martino per la risposta, scusami per il disturbo, però mm allora avrei un problema... Come mai non è irriducibile? $f(0_2) = 1_2$ e $ f(1_2) = 3_2 = 1_2$ quindi come si riduce? Forse perchè si può scomporre così? :
$ I = {h(x)(x^4+x^2+1) : h(x) \in ZZ_2[x]} = {h(x)x^4+h(x)x^2+h(x)1 : h(x) \in ZZ_2[x]} = {x^2[h(x)x^2+h(x)]+h(x)1 : h(x) \in ZZ_2[x]} = (x^2,1) $
$ I = {h(x)(x^4+x^2+1) : h(x) \in ZZ_2[x]} = {h(x)x^4+h(x)x^2+h(x)1 : h(x) \in ZZ_2[x]} = {x^2[h(x)x^2+h(x)]+h(x)1 : h(x) \in ZZ_2[x]} = (x^2,1) $
Il fatto che il tuo polinomio non abbia radici non implica affatto che sia irriducibile.
Prova a vedere un po' se ci decompone nel prodotto di fattori irriducibili di grado due.
Prova a vedere un po' se ci decompone nel prodotto di fattori irriducibili di grado due.
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