Verificare se è un reticolo, booleano o complementato
Sia $S$ l’insieme dei numeri naturali prodotto di numeri primi a due a due distinti
(ovvero tali che nella loro scomposizione in prodotto di numeri primi ogni primo
compaia al più una volta: si noti che ($1 in S$).$AAx in S$ si indichi con $pi(x)$ l’insieme dei primi positivi che dividono x.
Se ho capito bene S dovrebbe essere un insieme formato da elementi di questo tipo:
$S={1, 1*2, 1*3, 2*2, 1*5, 2*3, 1*7$, (8 come lo scrivo, se nella scomposizione in prodotto di numeri prima ogni primo deve comparire al più una volta???$ }$
Inoltre dice:
i) Verificare che, $AA x, y in S$, risulta $x = y$ se, e solo se, $pi(x) = pi(y)$
ii) Verificare che la relazione così definita in S:
$x ro y <=> pi(x) sube pi(y)$
Devo verificare che è una relazione d'ordine, non totale, e devo individuare minimo, massimo, minimali e massimali.
Per quanto riguarda il massimo, non esiste. Possiamo avere infiniti numeri naturali , esprimibili come il prodotto di numeri primi.
Per quanto riguarda il minimo, credo che anche questo non esista. Non esiste alcun valore di S tale che valga la relazione $ro$ per ogni x in S. Se prendo 1, questo è in relazione solo con se stesso. Inoltre credo che 1 sia elemento minimale.
Non esiste massimale. E' giusto?
Inoltre dice ancora:
Posto $X = {2, 210, 30, 14, 6}$, si studi l'insieme ordinato $(X, ro)$, disegnandone il
diagramma di Hasse. Si verifichi se $(X, ro)$ e un reticolo e, in caso di risposta
affermativa, se e distributivo e/o complementato.
Allora ho verificato che: 2 è il minimo, mentre 210 è il massimo. Inoltre entrambi coincidono anche con gli elementi minimali e massimali. Il diagramma di Hasse mi viene una cosa di questo tipo:
*(210)
*(30)
*(14) *(6)
*(2)
2 è in relazione con 14 e 6.
6 è in relazione con 30.
14 è in relazione con 210.
30 è in relazione con 210.
è corretto???
Adesso per verificare che è un reticolo , devo accertarmi che per ogni coppia ${x,y} in X$ dell'insieme $X$, esista un inf e sup, come procedo?
Grazie.
(ovvero tali che nella loro scomposizione in prodotto di numeri primi ogni primo
compaia al più una volta: si noti che ($1 in S$).$AAx in S$ si indichi con $pi(x)$ l’insieme dei primi positivi che dividono x.
Se ho capito bene S dovrebbe essere un insieme formato da elementi di questo tipo:
$S={1, 1*2, 1*3, 2*2, 1*5, 2*3, 1*7$, (8 come lo scrivo, se nella scomposizione in prodotto di numeri prima ogni primo deve comparire al più una volta???$ }$
Inoltre dice:
i) Verificare che, $AA x, y in S$, risulta $x = y$ se, e solo se, $pi(x) = pi(y)$
ii) Verificare che la relazione così definita in S:
$x ro y <=> pi(x) sube pi(y)$
Devo verificare che è una relazione d'ordine, non totale, e devo individuare minimo, massimo, minimali e massimali.
Per quanto riguarda il massimo, non esiste. Possiamo avere infiniti numeri naturali , esprimibili come il prodotto di numeri primi.
Per quanto riguarda il minimo, credo che anche questo non esista. Non esiste alcun valore di S tale che valga la relazione $ro$ per ogni x in S. Se prendo 1, questo è in relazione solo con se stesso. Inoltre credo che 1 sia elemento minimale.
Non esiste massimale. E' giusto?
Inoltre dice ancora:
Posto $X = {2, 210, 30, 14, 6}$, si studi l'insieme ordinato $(X, ro)$, disegnandone il
diagramma di Hasse. Si verifichi se $(X, ro)$ e un reticolo e, in caso di risposta
affermativa, se e distributivo e/o complementato.
Allora ho verificato che: 2 è il minimo, mentre 210 è il massimo. Inoltre entrambi coincidono anche con gli elementi minimali e massimali. Il diagramma di Hasse mi viene una cosa di questo tipo:
*(210)
*(30)
*(14) *(6)
*(2)
2 è in relazione con 14 e 6.
6 è in relazione con 30.
14 è in relazione con 210.
30 è in relazione con 210.
è corretto???
Adesso per verificare che è un reticolo , devo accertarmi che per ogni coppia ${x,y} in X$ dell'insieme $X$, esista un inf e sup, come procedo?
Grazie.
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