Verificare relazione d'ordine
non sono tanto beravo in queste cose.... penso che con un solo esempio capisco meglio che con tante pagine di teoria... quindi ne posto uno seguito dalla mia "soluzione":
Ok.... allora.... per essere una relazione d'ordine io ho capito che deve soddisfare tre sole proprietà:
- Riflessiva: per ogni $a \in S$, vale $aRa$
- Antisimmetrica: per ogni $a, b \in S$, se $aRb$ e $bRa$, allora $a = b$
- transitiva: per ogni $a,b,c \in S$ se vale $aRb$ e $bRc$, allora anche $aRc$
Ok... ora il passare alla pratica lo trovo piuttosto difficoltoso... vediamo un pò:
- Riflessività: $(x - y)R(y - x)$
- Antisimmetrica: se $(x - y)R(y - x)$ allora $(y- x)R(x-y)$
- Transitiva: $(x-y)R(y-x)$ e $(y-x)R(y-z)$ allora $(x-y)R(y-Z)$
Penso si scrivano così.... ma come dimostro se è vero o no??? con degli esempi??? tipo $(6-3)R(3-6)$ ????
Sull'insieme dei naturali N, si definisca la seguente relazione:
$x<=y$ se e solo se $x-y$ è multiplo di 3
Verificare se si tratta di una relazione d'ordine...
Ok.... allora.... per essere una relazione d'ordine io ho capito che deve soddisfare tre sole proprietà:
- Riflessiva: per ogni $a \in S$, vale $aRa$
- Antisimmetrica: per ogni $a, b \in S$, se $aRb$ e $bRa$, allora $a = b$
- transitiva: per ogni $a,b,c \in S$ se vale $aRb$ e $bRc$, allora anche $aRc$
Ok... ora il passare alla pratica lo trovo piuttosto difficoltoso... vediamo un pò:
- Riflessività: $(x - y)R(y - x)$
- Antisimmetrica: se $(x - y)R(y - x)$ allora $(y- x)R(x-y)$
- Transitiva: $(x-y)R(y-x)$ e $(y-x)R(y-z)$ allora $(x-y)R(y-Z)$
Penso si scrivano così.... ma come dimostro se è vero o no??? con degli esempi??? tipo $(6-3)R(3-6)$ ????
Risposte
Sull'insieme dei naturali N, si definisca la seguente relazione:
$x<=y$ se e solo se $x-y$ è multiplo di 3, questo significa che $xRy=>x-y=3*n$ con $n inNN$
Verificare se si tratta di una relazione d'ordine...
per essere una relazione d'ordine deve soddisfare tre proprietà:
- Riflessiva: per ogni $a \in S$, vale $aRa$
nel nostro caso la proprietà diventa per ogni $x \in NN$, vale $xRx$ cioè $x-x$ è multiplo di 3, ma $x-x=0=3*0$ quindi $x-x$ è multiplo di 3 e vale la proprietà riflessiva
- Antisimmetrica: per ogni $a, b \in S$, se $aRb$ e $bRa$, allora $a = b$
nel nostro caso la proprietà diventa per ogni $x, y \in NN$, $xRy$ e $yRx$, allora $x = y$, ma $xRy=>x-y=3*n$ con $n inNN$ e $yRx=>y-x=3*m$ con $m inNN$ questo implica che $3n=-3m=>3(n+m)=0=>n+m=0=>n=m=0$ e quindi $x=y$
- transitiva: per ogni $a,b,c \in S$ se vale $aRb$ e $bRc$, allora anche $aRc$
nel nostro caso la proprietà diventa per ogni $x, y,z \in NN$, $xRy$ e $yRz$ allora $xRz$
$xRy=>x-y=3*n$ e $yRz=>y-z=3m$ quindi $x-z=x-y+y-z=3n+3m=3(n+m)$ che se ne m sono numero naturali anche n+m è un numero naturale e quindi $xRz$
$x<=y$ se e solo se $x-y$ è multiplo di 3, questo significa che $xRy=>x-y=3*n$ con $n inNN$
Verificare se si tratta di una relazione d'ordine...
per essere una relazione d'ordine deve soddisfare tre proprietà:
- Riflessiva: per ogni $a \in S$, vale $aRa$
nel nostro caso la proprietà diventa per ogni $x \in NN$, vale $xRx$ cioè $x-x$ è multiplo di 3, ma $x-x=0=3*0$ quindi $x-x$ è multiplo di 3 e vale la proprietà riflessiva
- Antisimmetrica: per ogni $a, b \in S$, se $aRb$ e $bRa$, allora $a = b$
nel nostro caso la proprietà diventa per ogni $x, y \in NN$, $xRy$ e $yRx$, allora $x = y$, ma $xRy=>x-y=3*n$ con $n inNN$ e $yRx=>y-x=3*m$ con $m inNN$ questo implica che $3n=-3m=>3(n+m)=0=>n+m=0=>n=m=0$ e quindi $x=y$
- transitiva: per ogni $a,b,c \in S$ se vale $aRb$ e $bRc$, allora anche $aRc$
nel nostro caso la proprietà diventa per ogni $x, y,z \in NN$, $xRy$ e $yRz$ allora $xRz$
$xRy=>x-y=3*n$ e $yRz=>y-z=3m$ quindi $x-z=x-y+y-z=3n+3m=3(n+m)$ che se ne m sono numero naturali anche n+m è un numero naturale e quindi $xRz$
Grazie... oddio... era completamente sbagliatoo..... allora ai... riprovo con quest'altro:
Sull'insieme NxN, dove N è l'insieme dei numeri naturali, si definisca la seguente relazione:
$(x,y) <= (z,t)$ se e solo se $x <= z$ e $y<=t$
Allora... questo è più difficile cavoli...
- Riflessiva: per ogni $a\in S$, vale $aRa$
La proprietà diventa: vale $(x,y)R(x,y)$ cioè $(x,y) <= (x,y)$... boh... al max è uguale... ma ci arrivo per logica, non con una dimostrazioe...
- Antisimmetrica: per ogni $a,b\in S$, se $aRb$ e $bRa$, allora $a=b$
La proprietà diventa per ogni $(x,y)R(z,t)$ e $(z,t)R(x,y)$, allora $(x,y)=(z,t)$, ma $(x,y) <= (z,t)$ se e solo se $x <= z$ e $y<=t$, questo implica che $x-z <= y-t$, quindi non credo valga questa proprietà...
Sull'insieme NxN, dove N è l'insieme dei numeri naturali, si definisca la seguente relazione:
$(x,y) <= (z,t)$ se e solo se $x <= z$ e $y<=t$
Allora... questo è più difficile cavoli...
- Riflessiva: per ogni $a\in S$, vale $aRa$
La proprietà diventa: vale $(x,y)R(x,y)$ cioè $(x,y) <= (x,y)$... boh... al max è uguale... ma ci arrivo per logica, non con una dimostrazioe...
- Antisimmetrica: per ogni $a,b\in S$, se $aRb$ e $bRa$, allora $a=b$
La proprietà diventa per ogni $(x,y)R(z,t)$ e $(z,t)R(x,y)$, allora $(x,y)=(z,t)$, ma $(x,y) <= (z,t)$ se e solo se $x <= z$ e $y<=t$, questo implica che $x-z <= y-t$, quindi non credo valga questa proprietà...
Sull'insieme NxN, dove N è l'insieme dei numeri naturali, si definisca la seguente relazione:
$(x,y) <= (z,t)$ se e solo se $x <= z$ e $y<=t$
Devi stare attento e distinguere i due significati dei simboli "<=", quello che trovi dentro la relazione $(x,y) <= (z,t)$ , che è quello che devi definire, e quello già definito che trovi nella seconda parte, dopo il "se e solo se", che è invece il normale simbolo di disuguaglianza che già conosci
- Riflessiva: per ogni $a\in S$, vale $aRa$
La proprietà diventa: vale $(x,y)R(x,y)$ cioè $(x,y) <= (x,y)$... al max è uguale, perchè $x<=x$ e $y<=y$ e questa è la dimostrazione perchè il simbolo di $<=$ che viene usato nella seconda parte è quello noto.
- Antisimmetrica: per ogni $a,b\in S$, se $aRb$ e $bRa$, allora $a=b$
La proprietà diventa per ogni $(x,y)R(z,t)$ e $(z,t)R(x,y)$, allora $(x,y)=(z,t)$, ma
da $(x,y)R(z,t)$ $x<=z$ e $y<=t$, da $(z,t)R(x,y)$ ricavi $z<=x$ e $t<=y$, quindi $x<=z$ e $z<=x$ implicano che $x=z$ e
$y<=t$ con $t<=y$ implicano che $y=t$, quindi $(x,y)=(z,t)$ e anche questa proprietà è verificata.
con un po' di buona volontà riesci a dimostrare anche la proprietà transitiva.
Buon lavoro
$(x,y) <= (z,t)$ se e solo se $x <= z$ e $y<=t$
Devi stare attento e distinguere i due significati dei simboli "<=", quello che trovi dentro la relazione $(x,y) <= (z,t)$ , che è quello che devi definire, e quello già definito che trovi nella seconda parte, dopo il "se e solo se", che è invece il normale simbolo di disuguaglianza che già conosci
- Riflessiva: per ogni $a\in S$, vale $aRa$
La proprietà diventa: vale $(x,y)R(x,y)$ cioè $(x,y) <= (x,y)$... al max è uguale, perchè $x<=x$ e $y<=y$ e questa è la dimostrazione perchè il simbolo di $<=$ che viene usato nella seconda parte è quello noto.
- Antisimmetrica: per ogni $a,b\in S$, se $aRb$ e $bRa$, allora $a=b$
La proprietà diventa per ogni $(x,y)R(z,t)$ e $(z,t)R(x,y)$, allora $(x,y)=(z,t)$, ma
da $(x,y)R(z,t)$ $x<=z$ e $y<=t$, da $(z,t)R(x,y)$ ricavi $z<=x$ e $t<=y$, quindi $x<=z$ e $z<=x$ implicano che $x=z$ e
$y<=t$ con $t<=y$ implicano che $y=t$, quindi $(x,y)=(z,t)$ e anche questa proprietà è verificata.
con un po' di buona volontà riesci a dimostrare anche la proprietà transitiva.
Buon lavoro
Ok... penso i averla capita... allora.. anche la terza proprietà è dimostrata....
- transitiva: per ogni $a,b,c\in S$ se vale $aRb$ e $bRc$, allora anche $aRc$
La proprietà diventa per ogni $(x,y)R(z,t)$ e $(z,t)R(u,v)$ allora $(x,y)R(u,v)$
Dunque....
Da $(x,y)<=(z,t)$ ricavo $x<=z$ e $y<=t$
Da $(z,t)<=(u,v)$ ricavo $z<=u$ e $t<=v$
Da $(x,y)<=(u,v)$ ricavo $x<=u$ e $y<=v$
Quindi, si.... è dimostrato in quanto $x<=z<=u$ e $y<=t<=v$
giusto?
- transitiva: per ogni $a,b,c\in S$ se vale $aRb$ e $bRc$, allora anche $aRc$
La proprietà diventa per ogni $(x,y)R(z,t)$ e $(z,t)R(u,v)$ allora $(x,y)R(u,v)$
Dunque....
Da $(x,y)<=(z,t)$ ricavo $x<=z$ e $y<=t$
Da $(z,t)<=(u,v)$ ricavo $z<=u$ e $t<=v$
Da $(x,y)<=(u,v)$ ricavo $x<=u$ e $y<=v$
Quindi, si.... è dimostrato in quanto $x<=z<=u$ e $y<=t<=v$
giusto?
Riguardo questa relazione d'ordine
la prof chiede se è un insieme totalmente ordinato....
io sono giunto a questa conclusione:
E' un insieme PARZIALMENTE ordinato perchè non tutti gli elementi sono confrontabili ma solo quelli uguali.... cioè solo se ad esempio X e Z sono uguali.... solo se Y e T sono uguali....
voi che dite?
"amelia":
(x,y) <= (z,t)$ se e solo se $x <= z$ e $y<=t$
la prof chiede se è un insieme totalmente ordinato....
io sono giunto a questa conclusione:
E' un insieme PARZIALMENTE ordinato perchè non tutti gli elementi sono confrontabili ma solo quelli uguali.... cioè solo se ad esempio X e Z sono uguali.... solo se Y e T sono uguali....
voi che dite?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo