Verificare per induzione che il risultato di una sommatoria valga per ogni numero naturale.
Salve,
ho il seguente esercizio. Ho provato a farlo, ma da subito ho un risultato contrastante, sono io che sbaglio? Per favore potreste darmi una mano? Mille grazie.
Ecco l'esercizio:
tramite il principio di induzione matematica, stabilire se è vero che, per ogni $n \in \mathbb{N}$, si ha:
$\sum_{k=-1}^\n ( \frac{1}{5} )^k = \frac{25}{4} - \frac{1}{4} ( \frac{1}{5} )^n$
Per $n=-1$
$P(-1) : (\frac{1}{5})^{-1} = \frac{25}{4} - \frac{1}{4}(\frac{1}{5})^{-1}$
$5 = \frac{24}{5} - \frac{5}{4}$
$5 = \frac{20}{4}$
$5 = 5$
$P(-1)$ è vera.
per $n=1$, se non erro dovrebbe essere il seguente:
$P(1) : (\frac{1}{5})^{-1} + (\frac{1}{5})^0 + (\frac{1}{5})^1 = \frac{25}{4} - \frac{1}{4}(\frac{1}{5})^1$
$\frac{31}{5} = \frac{31}{5}$
consideriamo la proposizione P(n) e supponiamo sia vera:
$P(n) : (\frac{1}{5})^{-1} + ... + (\frac{1}{5})^n = \frac{25}{4} - \frac{1}{4}(\frac{1}{5})^n$
supponendo vera $P(n)$, vediamo se vale anche per ogni successore di n, che chiamiamo $n+1$:
calcoliamo $P(n+1)$ sommando ad entrambi i membri di $P(n)$, $(\frac{1}{5})^{n+1}$
\begin{align*} P(n+1) : \left (\frac{1}{5} \right )^{-1} + ... + \left (\frac{1}{5} \right )^n + \left (\frac{1}{5} \right )^{n+1} &= \frac{25}{4} - \frac{1}{4} \left (\frac{1}{5} \right )^n + \left (\frac{1}{5} \right)^{n+1} \\ &= \frac{25}{4} - \frac{1}{4} \left (\frac{1}{5} \right )^n + \left (\frac{1}{5} \right)^{n} \cdot \frac{1}{5} \\ &= \left ( \frac{1}{5} \right )^n \left ( -\frac{1}{4} + \frac{1}{5} \right ) + \frac{25}{4} \\ &= \left ( \frac{1}{5} \right )^n \left ( \frac{-5+4}{20} \right ) + \frac{25}{4} \\ &= \left ( \frac{1}{5} \right )^n \left ( - \frac{1}{20} \right ) + \frac{25}{4} \\ &= \left ( \frac{1}{5} \right )^n \left ( - \frac{1}{5 \cdot 4} \right ) + \frac{25}{4} \\ &= \left ( \frac{1}{5} \right )^n \left ( -\frac{1}{5} \right ) \left ( \frac{1}{4} \right ) + \frac{25}{4} \\ &= -\left ( \frac{1}{5} \right )^n \left ( \frac{1}{5} \right ) \left ( \frac{1}{4} \right ) + \frac{25}{4} \end{align*}
andando a sostituire in $P(n)$ il valore $n+1$ ottengo:
\begin{align*} \frac{25}{4} - \frac{1}{4} \left ( \frac{1}{5} \right )^{n+1} &= \frac{25}{4} - \frac{1}{4} \left ( \frac{1}{5} \right )^n \left ( \frac{1}{5} \right ) \\ &= - \left ( \frac{1}{5} \right )^n \left ( \frac{1}{5} \right ) \frac{1}{4} + \frac{25}{4} \end{align*}
che è proprio quello che abbiamo ottenuto in $P(n+1)$
perciò la proposizione $P(n)$ risulta valida per ogni $n \in \mathbb{N}$
cosa ne pensate? è sbagliata, potreste darmi ulteriori consigli? Mille grazie!!
ho il seguente esercizio. Ho provato a farlo, ma da subito ho un risultato contrastante, sono io che sbaglio? Per favore potreste darmi una mano? Mille grazie.
Ecco l'esercizio:
tramite il principio di induzione matematica, stabilire se è vero che, per ogni $n \in \mathbb{N}$, si ha:
$\sum_{k=-1}^\n ( \frac{1}{5} )^k = \frac{25}{4} - \frac{1}{4} ( \frac{1}{5} )^n$
Per $n=-1$
$P(-1) : (\frac{1}{5})^{-1} = \frac{25}{4} - \frac{1}{4}(\frac{1}{5})^{-1}$
$5 = \frac{24}{5} - \frac{5}{4}$
$5 = \frac{20}{4}$
$5 = 5$
$P(-1)$ è vera.
per $n=1$, se non erro dovrebbe essere il seguente:
$P(1) : (\frac{1}{5})^{-1} + (\frac{1}{5})^0 + (\frac{1}{5})^1 = \frac{25}{4} - \frac{1}{4}(\frac{1}{5})^1$
$\frac{31}{5} = \frac{31}{5}$
consideriamo la proposizione P(n) e supponiamo sia vera:
$P(n) : (\frac{1}{5})^{-1} + ... + (\frac{1}{5})^n = \frac{25}{4} - \frac{1}{4}(\frac{1}{5})^n$
supponendo vera $P(n)$, vediamo se vale anche per ogni successore di n, che chiamiamo $n+1$:
calcoliamo $P(n+1)$ sommando ad entrambi i membri di $P(n)$, $(\frac{1}{5})^{n+1}$
\begin{align*} P(n+1) : \left (\frac{1}{5} \right )^{-1} + ... + \left (\frac{1}{5} \right )^n + \left (\frac{1}{5} \right )^{n+1} &= \frac{25}{4} - \frac{1}{4} \left (\frac{1}{5} \right )^n + \left (\frac{1}{5} \right)^{n+1} \\ &= \frac{25}{4} - \frac{1}{4} \left (\frac{1}{5} \right )^n + \left (\frac{1}{5} \right)^{n} \cdot \frac{1}{5} \\ &= \left ( \frac{1}{5} \right )^n \left ( -\frac{1}{4} + \frac{1}{5} \right ) + \frac{25}{4} \\ &= \left ( \frac{1}{5} \right )^n \left ( \frac{-5+4}{20} \right ) + \frac{25}{4} \\ &= \left ( \frac{1}{5} \right )^n \left ( - \frac{1}{20} \right ) + \frac{25}{4} \\ &= \left ( \frac{1}{5} \right )^n \left ( - \frac{1}{5 \cdot 4} \right ) + \frac{25}{4} \\ &= \left ( \frac{1}{5} \right )^n \left ( -\frac{1}{5} \right ) \left ( \frac{1}{4} \right ) + \frac{25}{4} \\ &= -\left ( \frac{1}{5} \right )^n \left ( \frac{1}{5} \right ) \left ( \frac{1}{4} \right ) + \frac{25}{4} \end{align*}
andando a sostituire in $P(n)$ il valore $n+1$ ottengo:
\begin{align*} \frac{25}{4} - \frac{1}{4} \left ( \frac{1}{5} \right )^{n+1} &= \frac{25}{4} - \frac{1}{4} \left ( \frac{1}{5} \right )^n \left ( \frac{1}{5} \right ) \\ &= - \left ( \frac{1}{5} \right )^n \left ( \frac{1}{5} \right ) \frac{1}{4} + \frac{25}{4} \end{align*}
che è proprio quello che abbiamo ottenuto in $P(n+1)$
perciò la proposizione $P(n)$ risulta valida per ogni $n \in \mathbb{N}$
cosa ne pensate? è sbagliata, potreste darmi ulteriori consigli? Mille grazie!!
Risposte
non ha senso per n=-1
"kobeilprofeta":
non ha senso per n=-1
Quindi valutare $P(-1)$ è un passaggio da togliere!
Lo sviluppo del resto dell'esercizio va bene?
"cloe009":
calcoliamo $P(n+1)$ sommando ad entrambi i membri di $P(n)$, $(\frac{1}{5})^{n+1}$
Secondo me come passo base dovresti prendere $n = 0$, cioè verificare che vale $P(0)$
Poi quando cominci la dimostrazione non credo sia troppo giusto dire che sommi ad entrambi i membri $(\frac{1}{5})^{n+1}$.
Io avrei fatto così: $\sum_{k=-1}^{n+1} (\frac{1}{5})^{k} = \sum_{k=-1}^n (\frac{1}{5})^{k} + (\frac{1}{5})^{n+1} = $(per ipotesi induttiva) $\frac{25}{4} - \frac{1}{4} ( \frac{1}{5} )^n + (\frac{1}{5})^{n+1}$ e da qui poi svolgi tutto come hai già fatto.
Il risultato non cambia ma così usi l'ipotesi induttiva e credo sia più corretto.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo