Verifica primo
Ciao, amici! È tutta la sera che cerco di verificare se vale che, se p è primo, 6p + 1 è primo. È un tipo di esercizio che non viene esemplificato sul mio stringato manuale di aritmetica per l'università e non trovo un modo per risolvere il problema...
Noto che devo verificare se è vero che
\[ \forall n \neq 6p+1, 6p+1 \not\equiv 0 \text{ mod} n \]
che è lo stesso di dire che $AAn != 6p+1, MCD(6p+1,n)=1$, ma non saprei da che parte cominciare... Osservo anche che 6p + 1 è dispari e, se non fosse primo, sarebbe fattorizzabile in fattori tutti dispari, ma non mi pare che questo mi dica granché sulla verità della proposizione... L'aritmetica modulare non sono sicuro se mi possa servire... Ho fatto qualche verifica con i più piccoli numeri primi e sembra che la proposizione per essi valga, ma non so come e se generalizzarla...
Sperando che qualcuno mi possa venire in aiuto, ringrazio tutti di cuore!
Noto che devo verificare se è vero che
\[ \forall n \neq 6p+1, 6p+1 \not\equiv 0 \text{ mod} n \]
che è lo stesso di dire che $AAn != 6p+1, MCD(6p+1,n)=1$, ma non saprei da che parte cominciare... Osservo anche che 6p + 1 è dispari e, se non fosse primo, sarebbe fattorizzabile in fattori tutti dispari, ma non mi pare che questo mi dica granché sulla verità della proposizione... L'aritmetica modulare non sono sicuro se mi possa servire... Ho fatto qualche verifica con i più piccoli numeri primi e sembra che la proposizione per essi valga, ma non so come e se generalizzarla...
Sperando che qualcuno mi possa venire in aiuto, ringrazio tutti di cuore!
Risposte
"DavideGenova":Evidentemente non sei arrivato ad un numero primo che finisce con $9$
Ho fatto qualche verifica con i più piccoli numeri primi e sembra che la proposizione per essi valga, ma non so come e se generalizzarla...
$p=19$ è primo ma $6p+1=114+1=115$ non lo è
Ti ringrazio $oo$mente di nuovo...
Che stupido a non pensarci: se finisce con 9 è della forma (chiamando $a_i$ le sue cifre) $6(a_n*10^n+...+a_2*10^2+a_1*10+9)+1=60(a_n*10^(n-1)+...+a_2*10+a_1)+15$ e quindi sempre divisibile per 5. Sei un grande.
Ciao e grazie di nuovo!!!
Che stupido a non pensarci: se finisce con 9 è della forma (chiamando $a_i$ le sue cifre) $6(a_n*10^n+...+a_2*10^2+a_1*10+9)+1=60(a_n*10^(n-1)+...+a_2*10+a_1)+15$ e quindi sempre divisibile per 5. Sei un grande.
Ciao e grazie di nuovo!!!
Aggiungo: non è necessario che il numero finisca per $9$.
Anche con $p=43$ hai che $6p+1=258+1=259=37*7$, oppure $p=31 => 6p+1=186+1=187=11*17$
Ciao, buona continuazione
Anche con $p=43$ hai che $6p+1=258+1=259=37*7$, oppure $p=31 => 6p+1=186+1=187=11*17$
Ciao, buona continuazione
Volendo, per p<100, si hanno già tutte le possibili cifre finali di p che non verificano la condizione (il massimo numero di controesempi non congrui tra loro in (mod 10)):
p={31, 43, 97, 19}.
p={31, 43, 97, 19}.
"Gi8":
Aggiungo: non è necessario che il numero finisca per $9$.
Anche con $p=43$ hai che $6p+1=258+1=259=37*7$, oppure $p=31 => 6p+1=186+1=187=11*17$
Ciao, buona continuazione
Mi hai anticipato
Grazie a tutti, ragazzi!!!
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