Verifica omomorfismi tra gruppi

[Kekec]

Ciao a tutti, potreste dare un'occhiata a questi esercizi?

Dati $Z$, $Z_6$, $Z_24$:

a)determinare tutti i morfismi da $Z_6$ a $Z_24$

I sottogruppi di $Z_6$ sono {e], $Z_6$, $Z_2$ e $Z_3$.

$Z_6/{e}$, => ordine 6.
$Z_6/Z_6$ morfismo banale
$Z_6/Z_2$ isomorfo ad $Z_3$, ordine 3.
$Z_6/Z_3$ isomorfo ad $Z_2$, ordine 2.

Quattro morfismi:

$f:1 -> 1$ né iniettivo né suriettivo
$ f : 1 -> 1^22 $
$ f : 1 -> 1^21$
$ f: 1 -> 1^18$

b)Trovare un morfismo da $Z_24 -> Z_6$ tale che ker(morfismo) = < [3] (mod 24)>

non esiste alcun morfismo con quel nucleo poichè l'elemento dell'immagine dovrebbe avere ordine 8, mentre gli elementi di $Z_6$ hanno ordine al più 6.

corretto?

C) Dato il gruppo $Z_6 x Z_24$, trovare un sottogruppo con 6 elementi.

Allora: $U(6)$= 2 e $U(24)$ = 8. I divisori di 2 sono 1 e 2 mentre i divisori di 8 sono 1,2,4 e 8.
In $Z_6$ l'elemento di ordine 2 è 5. In $Z_24$ di ordine 2 ci sono 5 e 12.
Un suo sottogruppo con 6 elementi è: S = { ([1], [1]), ([1],[5]), ([5],[1]), ([5], [5]), ([1], [12]), ([5], [12]) }

sono corretti?

D)Esiste un morfismo suriettivo da $Z$ a $Z_6 X Z_24$?
Questo non lo so fare.

saluti e grazie anticipatamente per le risposte

[mistake89]

"Kekec":Ciao a tutti, potreste dare un'occhiata a questi esercizi?

Dati $Z$, $Z_6$, $Z_24$:

a)determinare tutti i morfismi da $Z_6$ a $Z_24$

I sottogruppi di $Z_6$ sono {e], $Z_6$, $Z_2$ e $Z_3$.

$Z_6/{e}$, => ordine 6.
$Z_6/Z_6$ morfismo banale
$Z_6/Z_2$ isomorfo ad $Z_3$, ordine 3.
$Z_6/Z_3$ isomorfo ad $Z_2$, ordine 2.

Quattro morfismi:

$f:1 -> 1$ né iniettivo né suriettivo
$ f : 1 -> 1^22 $
$ f : 1 -> 1^21$
$ f: 1 -> 1^18$

La prima parte mi sembra corretta... non capisco però gli omomorfismi che hai determinato.
Anzitutto osserva che $ZZ_n$ è un gruppo additivo, ed il periodo dell'unità è sempre $1$.

Io farei così.
I morfismi da $ZZ_6$ a $ZZ_(24)$, con nucleo banale, mandano $[1]_6$ in un elemento $[x]_(24)$ con $o(x)=6$. Ci sono? Quanti sono? Potenzialmente esistono poichè $6|24$, quindi potrebbero esserci. Il più semplice? $4$, infatti $6*4=24 \equiv 0 mod 24$. A te verificare che ce ne siano altri.

Consideriamo adesso $ZZ_6//ZZ_2$ esso è isomorfo a $ZZ_3$ sarà formato da $ZZ_2,2+ZZ_2,4+ZZ_2$. Considera un generatore di questo gruppo (ad esempio $2+ZZ_2$), esso ha peridio $3$, devi trovare allora in $ZZ_(24)$ un elemento di periodo $3$. Anche qui esistono? Quanti sono?
A tal proposito osserviamo che $ZZ_(24) \cong ZZ_(2^3) \times ZZ_3$, quindi direi proprio che esistono... (potevamo anche asserire che essendo 3 un primo che divide l'ordine di $ZZ_(24)$ per Cauchy esiste un elemento (e quindi un sottogruppo) di tale ordine). Anche qui determinare quanti sono è semplice. Prova a trovarli.

L'ultimo caso interessante è rimasto $ZZ_6//ZZ_3$ isomorfo a $ZZ_2$. Quindi dobbiamo cercare gli elementi di ordine $2$ in $ZZ_24$, anche qui sicuramente esistono, per Cauchy ad esempio.

Se il nucleo è $ZZ_6$ abbiamo l'omomorfismo banale.

Spero di non aver commesso inesattezze per la fretta, se hai domande, al solito, chiedi pure!

[mistake89]

"Kekec":

b)Trovare un morfismo da $Z_24 -> Z_6$ tale che ker(morfismo) = < [3] (mod 24)>

non esiste alcun morfismo con quel nucleo poichè l'elemento dell'immagine dovrebbe avere ordine 8, mentre gli elementi di $Z_6$ hanno ordine al più 6.

corretto?

No, credo di no. Hai ragione quando dici che $<[3]_(24)>$ è ciclico di ordine $8$, isomorfo a $ZZ_8$
Allora $ZZ_(24)//ZZ_8$ è isomorfo a $ZZ_3$, quindi dobbiamo trovare in $ZZ_6$ elementi di ordine $3$. Esistono?
Io dico proprio di sì...

[Kekec]

Chiariscimi questo dubbio e dopo proverò a risponderti: in un gruppo additivo, l'elevamento a potenza è il classico elevamento a potenza? E l'ordine di un elemento $a$ è il più piccolo intero $p$ tale che $a^p=e$?

@edit: in gruppo additivo per $a^p=e$ si intende $ap=e$, esatto?

Grazie

[mistake89]

L'ordine di un elemento è il più piccolo intero $p$ tale che $ap=0$ nel caso di un gruppo addittivo e nel caso di un gruppo moltiplicativo $a^p=1$

[Kekec]

Gli elementi di ordine 6 sono $4,8,12,16,20$.
Di ordine $3 $ ci sono $8$ e $16$.
Di ordine $2$ c'è il solo 12.

Quindi abbiamo un totale di 8+1(quello banale) omomorfismi.

Consideriamo adesso ℤ6/ℤ2 esso è isomorfo a ℤ3 sarà formato da ℤ2,2+ℤ2,4+ℤ2. Considera un generatore di questo gruppo (ad esempio 2+ℤ2)

Potresti spiegarmi gentilmente questo e darmi un aiuto per il punto D?

Grazie

[mistake89]

Ma scusa, se $8$ ha periodo $3$ come fa ad avere periodo $6$? Il periodo è il più piccolo intero, quindi è univocamente determinato. Stesso discorso per $12,16$

Conosci i gruppi quozienti? Non ho fatto altro che descrivere esplicitamente $ZZ_6//ZZ_2$.

Per il punto d) ci stavo pensando, ma non sono ancora riuscito a fare tutto per bene...

[Kekec]

Ah già, non ci avevo fatto caso.

Gli elementi del gruppo quoziente $Z_6/Z_2$ sono i laterali sinistri di $Z_2$