Verifica di proposizioni (vero o falso)
Salve ragazzi,
sarà anche un inezia, ma sto cercando di risolvere un punto di un appello di matematica discreta, ma in realtà non ho capito benissimo che cosa devo dimostrare, il punto è questo
"giustificare se la seguente proposizione è vera o falsa"
$ AA n geq 1 $ n divisibile per $4 -> 3^n+1$ divisibile per 4 (questa è la trascrizione della traccia, così come l'ha data la prof)
ora la cosa che non mi è chiara è quello che devo dimostrare, devo utilizzare il principio di induzione e dimostrare che per $3^(n+1) + 1$ è divisibile per 4 ?
in tal caso come si potrebbe dimostrare?
grazie mille e scusate se è una scemenza ma sono mooolto arruginito
sarà anche un inezia, ma sto cercando di risolvere un punto di un appello di matematica discreta, ma in realtà non ho capito benissimo che cosa devo dimostrare, il punto è questo
"giustificare se la seguente proposizione è vera o falsa"
$ AA n geq 1 $ n divisibile per $4 -> 3^n+1$ divisibile per 4 (questa è la trascrizione della traccia, così come l'ha data la prof)
ora la cosa che non mi è chiara è quello che devo dimostrare, devo utilizzare il principio di induzione e dimostrare che per $3^(n+1) + 1$ è divisibile per 4 ?
in tal caso come si potrebbe dimostrare?
grazie mille e scusate se è una scemenza ma sono mooolto arruginito
Risposte
Grazie Richard,
chiedo venia per la notazione.
rifacendo i conti, in effetti mi ritrovo con quelli che hai fatto tu e diventa tutto più chiaro.
grazie mille
chiedo venia per la notazione.
rifacendo i conti, in effetti mi ritrovo con quelli che hai fatto tu e diventa tutto più chiaro.
grazie mille
Prego, figurati!
Le mie proposizioni sono forse più banali, ma non capisco come dimostrarle.
Si dica se è vero o falso, giustificando le risposte:
1.Il prodotto di un numero $a$ maggiore di 15 per un numero $b$ maggiore di 3 è maggiore di 15, comunque siano dati $a$ e $b$.
2.Il prodotto di un numero $a$ maggiore di 15 per un numero $b$ minore di 3 è minore di 15, comunque siano dati $a$ e $b$.
3.ogni numero naturale è dispari oppure è il doppio di un numero pari.
Innanzitutto non mi è chiaro cosa significhi "comunque siano dati $a$ e $b$"
Per la numero 3 trovo subito un contro esempio: 6 è un naturale, è pari, ma è anche il doppio di un dispari. Quindi falsa.
Anche per la numero 2 posso trovare un contro esempio: se $a=8$ e $b=2$ il loro prodotto è $16>15$. Quindi falsa.
Ma la numero 1, sebbene sia evidente che è vera non so come dimostrarlo.
Pensavo di metterla così:
$a=(5+x)$ e $b=(3+x)$ con $x != 0$
$(5+x) ** (3+x)$ = $(5+x) +(5+x) + (5+x)... per (3+x)$ volte
Il risultato di questa somma è $>15$
Si dica se è vero o falso, giustificando le risposte:
1.Il prodotto di un numero $a$ maggiore di 15 per un numero $b$ maggiore di 3 è maggiore di 15, comunque siano dati $a$ e $b$.
2.Il prodotto di un numero $a$ maggiore di 15 per un numero $b$ minore di 3 è minore di 15, comunque siano dati $a$ e $b$.
3.ogni numero naturale è dispari oppure è il doppio di un numero pari.
Innanzitutto non mi è chiaro cosa significhi "comunque siano dati $a$ e $b$"
Per la numero 3 trovo subito un contro esempio: 6 è un naturale, è pari, ma è anche il doppio di un dispari. Quindi falsa.
Anche per la numero 2 posso trovare un contro esempio: se $a=8$ e $b=2$ il loro prodotto è $16>15$. Quindi falsa.
Ma la numero 1, sebbene sia evidente che è vera non so come dimostrarlo.
Pensavo di metterla così:
$a=(5+x)$ e $b=(3+x)$ con $x != 0$
$(5+x) ** (3+x)$ = $(5+x) +(5+x) + (5+x)... per (3+x)$ volte
Il risultato di questa somma è $>15$
"tinex":
1.Il prodotto di un numero $a$ maggiore di 15 per un numero $b$ maggiore di 3 è maggiore di 15, comunque siano dati $a$ e $b$.
per come la vedo io in questo esercizio se $a>15$ lo moltiplico per $b>3$ è ovvio che il risultato sia $>15$
il "comunque siano dati a e b" se è interpretato come "ogni valore possibile di a e b rispettando il vincolo che il primo sia $>15$ e il secondo $>3$ "
allora è sufficiente scrivere che la dimostrazione è banale
2.Il prodotto di un numero $a$ maggiore di 15 per un numero $b$ minore di 3 è minore di 15, comunque siano dati $a$ e $b$.
personalmente per questa direi che se prendo $a=16$ e $b=2$ ottengo che $16*2=32$ che è $>15$ quindi è falsa
3.ogni numero naturale è dispari oppure è il doppio di un numero pari.
per questa è chiarissimo il tuo di controesempio
la cosa che rimane un po indefinita è proprio il significato di " comunque siano dati $a$ e $b$ "
Il problema, nella dimostrazione del punto 1. è che, a mio avviso, non sapete bene da che parte cominciare. Ossia non sapete cosa può essere dato per scontato e cosa invece va dimostrato.
Io personalmente vi propongo di attenervi agli assiomi di campo ordinato (vedi qui), anche se il vostro ambiente di lavoro è solo [tex]\mathbb N[/tex].
Altri utenti potranno magari suggerirvi di spingervi fino agli assiomi di Peano, ma secondo me è, in questo contesto, decisamente eccessivo. La mia proposta mi sembra un giusto compromesso tra il bisogno di rigore e la ragionevolezza.
Io personalmente vi propongo di attenervi agli assiomi di campo ordinato (vedi qui), anche se il vostro ambiente di lavoro è solo [tex]\mathbb N[/tex].
Altri utenti potranno magari suggerirvi di spingervi fino agli assiomi di Peano, ma secondo me è, in questo contesto, decisamente eccessivo. La mia proposta mi sembra un giusto compromesso tra il bisogno di rigore e la ragionevolezza.
Maurer letto il tuo suggerimento, ma in questo momento non mi è immediato, dovrei studiarmelo (e lo farò, ma se me lo mostri ti sarò grata) ... però se ragionassi per induzione?
$a>5$ e $b>3$
$a*b >15$
verifico per $a=6$ e per $b=4$
$6*4=24>15$
Ipotizzo che sia vera $a*b >15$ con $a>5$ e $b>3$
Lo dimostro per $a+1$ e $b+1$
devo dimostrare che $(a+1)*(b+1) >15$
ottengo $ab+a+b+1$
so già che $ab>15$
perciò avrò sicuramente che
$ab+a+b+1$
$a>5$ e $b>3$
$a*b >15$
verifico per $a=6$ e per $b=4$
$6*4=24>15$
Ipotizzo che sia vera $a*b >15$ con $a>5$ e $b>3$
Lo dimostro per $a+1$ e $b+1$
devo dimostrare che $(a+1)*(b+1) >15$
ottengo $ab+a+b+1$
so già che $ab>15$
perciò avrò sicuramente che
$ab+a+b+1$
Va bene, ma ti complichi la vita.
Utilizzando gli assiomi che propongo: sappiamo che se [tex]a,b > 0[/tex] allora [tex]ab > 0[/tex]. Allora se [tex]a > a_0[/tex] e [tex]b > 0[/tex] si ha [tex](a-a_0)b > 0[/tex], da cui [tex]ab > a_0b[/tex]. Nel tuo caso [tex]a > 5, b>3[/tex]. Applicando due volte quanto ho dimostrato [tex]ab > 5b > 5\cdot 3 = 15[/tex].
Non devi studiarlo. E' un ragionamento piuttosto naturale. La "difficoltà" più grossa è forse trovare il giusto quadro assiomatico in cui posizionarsi!
Utilizzando gli assiomi che propongo: sappiamo che se [tex]a,b > 0[/tex] allora [tex]ab > 0[/tex]. Allora se [tex]a > a_0[/tex] e [tex]b > 0[/tex] si ha [tex](a-a_0)b > 0[/tex], da cui [tex]ab > a_0b[/tex]. Nel tuo caso [tex]a > 5, b>3[/tex]. Applicando due volte quanto ho dimostrato [tex]ab > 5b > 5\cdot 3 = 15[/tex].
"tinex":
[...]dovrei studiarmelo (e lo farò, ma se me lo mostri ti sarò grata)[...]
Non devi studiarlo. E' un ragionamento piuttosto naturale. La "difficoltà" più grossa è forse trovare il giusto quadro assiomatico in cui posizionarsi!
se a,b > 0 allora ab > 0. Allora se a > a_0 e b > 0 si ha (a-a_0)b > 0, da cui ab > a_0b
Questo che assioma è esattamente? O quale assioma applica?
L'assioma è
Nella pagina che ho linkato prima (questa) lo trovi come seconda richiesta nella Definizione.
Osserva che per concludere da [tex]ab - a_0 b > 0[/tex] che [tex]ab > a_0b[/tex] dobbiamo utilizzare anche la prima richiesta (il primo assioma).
Il resto che ho scritto fa già parte della dimostrazione.
"maurer":
se [tex]a,b > 0[/tex] allora [tex]ab > 0[/tex]
Nella pagina che ho linkato prima (questa) lo trovi come seconda richiesta nella Definizione.
Osserva che per concludere da [tex]ab - a_0 b > 0[/tex] che [tex]ab > a_0b[/tex] dobbiamo utilizzare anche la prima richiesta (il primo assioma).
Il resto che ho scritto fa già parte della dimostrazione.
ok grazie maurer!
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