Verifica di proposizioni (vero o falso)
Salve ragazzi,
sarà anche un inezia, ma sto cercando di risolvere un punto di un appello di matematica discreta, ma in realtà non ho capito benissimo che cosa devo dimostrare, il punto è questo
"giustificare se la seguente proposizione è vera o falsa"
$ AA n geq 1 $ n divisibile per $4 -> 3^n+1$ divisibile per 4 (questa è la trascrizione della traccia, così come l'ha data la prof)
ora la cosa che non mi è chiara è quello che devo dimostrare, devo utilizzare il principio di induzione e dimostrare che per $3^(n+1) + 1$ è divisibile per 4 ?
in tal caso come si potrebbe dimostrare?
grazie mille e scusate se è una scemenza ma sono mooolto arruginito
sarà anche un inezia, ma sto cercando di risolvere un punto di un appello di matematica discreta, ma in realtà non ho capito benissimo che cosa devo dimostrare, il punto è questo
"giustificare se la seguente proposizione è vera o falsa"
$ AA n geq 1 $ n divisibile per $4 -> 3^n+1$ divisibile per 4 (questa è la trascrizione della traccia, così come l'ha data la prof)
ora la cosa che non mi è chiara è quello che devo dimostrare, devo utilizzare il principio di induzione e dimostrare che per $3^(n+1) + 1$ è divisibile per 4 ?
in tal caso come si potrebbe dimostrare?
grazie mille e scusate se è una scemenza ma sono mooolto arruginito
Risposte
è falsa. 10 non è divisibile per 4.
ok per n=2 è falsa quindi è falsa la proposizione, quindi il modo corretto di interpretare la traccia è la semplice verifica che $3^n + 1$ sia divisibile per 4?
Siccome ti si chiedeva di dire se la proposizione in oggetto fosse vera e falsa e di giustificare la risposta, il controesempio indicato da dolce590 ti dice che la proposizione è falsa e ne fornisce anche la giustificazione
pefetto, ma supponiamo fosse stata vera, il principio di induzione è la giusta strada per dimostrarlo?
Ma veramente la proposizione dice che
[tex]4\,|\,n\Rightarrow 4\,|\,(3^n+1)\,\,\forall n>0[/tex]
quindi [tex]n=2[/tex] non va bene. Comunque è falso lo stesso, basta prendere [tex]n=4[/tex]. Infatti [tex]3^4+1=82[/tex] non è multiplo di [tex]4[/tex].
[tex]4\,|\,n\Rightarrow 4\,|\,(3^n+1)\,\,\forall n>0[/tex]
quindi [tex]n=2[/tex] non va bene. Comunque è falso lo stesso, basta prendere [tex]n=4[/tex]. Infatti [tex]3^4+1=82[/tex] non è multiplo di [tex]4[/tex].
"Richard_Dedekind":
Ma veramente la proposizione dice che
[tex]4\,|\,n\Rightarrow 4\,|\,(3^n+1)\,\,\forall n>0[/tex]
quindi [tex]n=2[/tex] non va bene. Comunque è falso lo stesso, basta prendere [tex]n=4[/tex]. Infatti [tex]3^4+1=82[/tex] non è multiplo di [tex]4[/tex].
Scusate, avevo letto male la traccia. In ogni caso il controesempio che hai indicato giustifica la falsità della tesi.
benissimo quindi devo prendere tutti gli n multipli di 4
se invece prendo questa traccia :
$ AA n geq 1 $ n dispari $-> n^3 - n $ divisibile per 4
devo prendere tutti gli n dispari per la dimostrazione giusto?
se invece prendo questa traccia :
$ AA n geq 1 $ n dispari $-> n^3 - n $ divisibile per 4
devo prendere tutti gli n dispari per la dimostrazione giusto?
cmq ragazzi grazie tante ad entrambi, mi state dando una grossa mano 
mi confermate che anche l'ultima proposizione è falsa?
io ho cercato di applicare l'induzione, per n=1 è vero
poi ho provato per n=n+2 (perchè se facessi n+1 è pari quindi non rispetteri la traccia)
quindi avrei $(n+2)^3 - (n+2) | 4$
sviluppando otterrei
$n^3 + 2n^2 + 8n + 4n^2 + 4n + 8 - n - 2 |4 $
che ho poi raggruppato in questo modo
$(n^3 - n) + 6(n^2 + 2n + 1) |4$
di quest'ultima solo la prima parte è divisibile per 4 (dalla traccia) ma visto che la seconda parte non è divisibile per 4 allora ho dimostrato che non è nulla divisibile per 4 quindi la proposizione è falsa...
ho fatto bene??
io ho cercato di applicare l'induzione, per n=1 è vero
poi ho provato per n=n+2 (perchè se facessi n+1 è pari quindi non rispetteri la traccia)
quindi avrei $(n+2)^3 - (n+2) | 4$
sviluppando otterrei
$n^3 + 2n^2 + 8n + 4n^2 + 4n + 8 - n - 2 |4 $
che ho poi raggruppato in questo modo
$(n^3 - n) + 6(n^2 + 2n + 1) |4$
di quest'ultima solo la prima parte è divisibile per 4 (dalla traccia) ma visto che la seconda parte non è divisibile per 4 allora ho dimostrato che non è nulla divisibile per 4 quindi la proposizione è falsa...
ho fatto bene??
Faccio una domanda: il metodo di induzione non è utilizzabile solo per dimostrare proposizioni che devono valere per tutti i naturali e non solo per esempio (come in questo caso) per i dispari?
Sia [tex]P(n)[/tex] una proprietà che vale solo per i dispari. Allora [tex]G(n) := P(2n+1)[/tex] è una proprietà che vale per tutti gli interi. 
"maurer":
Sia [tex]P(n)[/tex] una proprietà che vale solo per i dispari. Allora [tex]G(n) := P(2n+1)[/tex] è una proprietà che vale per tutti gli interi.
quindi mi stai dicendo che se voglio dimostrare con l'induzione che la mia proposizione è vera (anche se è vincolata ai soli numeri dispari) lo posso fare?
in caso, la soluzione che ho dato all'esercizio è esatta o si doveva dimostrare diversamente?
Scusa, io non ho letto gli interventi precedenti, rispondevo solo a max.
Comunque, rimedio adesso.
No di certo, siccome è vera!
I passaggi sono corretti, ma poi manchi di iniziativa. [tex]n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2[/tex] e adesso, indovina un po'? Per ipotesi [tex]n[/tex] è dispari e quindi [tex]n+1[/tex] è pari. Quindi [tex]2 \mid n+1[/tex] e [tex]4 \mid (n+1)^2[/tex].
Otteniamo addirittura che [tex]8 \mid 6 (n^2 + 2n + 1)[/tex] e tanto basta per concludere il ragionamento induttivo.
P.S. La divisibilità non è simmetrica! Come scrivi tu, $(n^3-n) + 6(n^2+2n+1) |4$ è sbagliato!
Comunque, rimedio adesso.
"duombo":
mi confermate che anche l'ultima proposizione è falsa?
No di certo, siccome è vera!
"duombo":
io ho cercato di applicare l'induzione, per n=1 è vero
poi ho provato per n=n+2 (perchè se facessi n+1 è pari quindi non rispetteri la traccia)
quindi avrei $(n+2)^3 - (n+2) | 4$
sviluppando otterrei
$n^3 + 2n^2 + 8n + 4n^2 + 4n + 8 - n - 2 |4 $
che ho poi raggruppato in questo modo
$(n^3 - n) + 6(n^2 + 2n + 1) |4$
di quest'ultima solo la prima parte è divisibile per 4 (dalla traccia) ma visto che la seconda parte non è divisibile per 4 allora ho dimostrato che non è nulla divisibile per 4 quindi la proposizione è falsa...
ho fatto bene??
I passaggi sono corretti, ma poi manchi di iniziativa. [tex]n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2[/tex] e adesso, indovina un po'? Per ipotesi [tex]n[/tex] è dispari e quindi [tex]n+1[/tex] è pari. Quindi [tex]2 \mid n+1[/tex] e [tex]4 \mid (n+1)^2[/tex].
Otteniamo addirittura che [tex]8 \mid 6 (n^2 + 2n + 1)[/tex] e tanto basta per concludere il ragionamento induttivo.
P.S. La divisibilità non è simmetrica! Come scrivi tu, $(n^3-n) + 6(n^2+2n+1) |4$ è sbagliato!
Poi una cosa che non capisco come mai non venga afferrata da tutti:
Se anche fosse vero quello che hai scritto, non avresti comunque dimostrato nulla. Ci avresti fatto vedere che l'approccio stupido - quello per induzione - con i passaggi che hai fatto tu, non è idoneo a dimostrare la proposizione. Non è che se una cosa non puoi dimostrarla per induzione facendo quei passaggi, allora è falsa tout-court! Potrebbe esserci una dimostrazione più articolata sotto, o delle tecniche avanzatissime (sto esagerando, qui non è certamente il caso, però è un concetto che dovrebbe essere chiarissimo a tutti!).
Per dimostrare che una proposizione è falsa devi esibire un esempio in cui la proprietà non regge. Non c'è altro modo.
"duombo":
[...] ma visto che la seconda parte non è divisibile per 4 allora ho dimostrato che non è nulla divisibile per 4 quindi la proposizione è falsa...
Se anche fosse vero quello che hai scritto, non avresti comunque dimostrato nulla. Ci avresti fatto vedere che l'approccio stupido - quello per induzione - con i passaggi che hai fatto tu, non è idoneo a dimostrare la proposizione. Non è che se una cosa non puoi dimostrarla per induzione facendo quei passaggi, allora è falsa tout-court! Potrebbe esserci una dimostrazione più articolata sotto, o delle tecniche avanzatissime (sto esagerando, qui non è certamente il caso, però è un concetto che dovrebbe essere chiarissimo a tutti!).
Per dimostrare che una proposizione è falsa devi esibire un esempio in cui la proprietà non regge. Non c'è altro modo.
"maurer":
Otteniamo addirittura che [tex]8 \mid 6 (n+2 + 2n + 1)[/tex] e tanto basta per concludere il ragionamento induttivo.
questo passaggio non mi è molto chiaro... perchè è diventato [tex]6 (n+2 + 2n + 1)[/tex] ?
"maurer":
P.S. La divisibilità non è simmetrica! Come scrivi tu, $(n^3-n) + 6(n^2+2n+1) |4$ è sbagliato!
in questa intendo dire che se 2 membri sono entrambi divisibili per 4 allora anche la loro somma lo è mentre se uno dei 2 non è divisibile allora non lo è nemmeno la somma, è sbagliato?
ps. lo so sono domande e osservazioni stupide ma sono cose che devo capire:)
"duombo":
in questa intendo dire che se 2 membri sono entrambi divisibili per 4 allora anche la loro somma lo è mentre se uno dei 2 non è divisibile allora non lo è nemmeno la somma, è sbagliato?
Intende solo dire che [tex]a\,|\,b[/tex] è una cosa diversa da [tex]b\,|\,a[/tex]. Devi fare attenzione alla notazione.
Quoto Richard_Dedekind. E per quanto dici prima, sono io che ho sbagliato a scrivere!
grazie ragazzi ho piu chiare un bel po di cose ))
ho piu chiare un bel po di cose ))
ragazzi riprendo un attimo questo 3d perchè mi sono accorto che forse c'è qualcosa che non va con i calcoli
dunque se voglio dimostrare che $AA n >=1 -> n^3-n$ divisibile per 4 con n dispari
vado per il passo induttivo per $n+2$ (perchè devo prendere tutti gli n dispari)
quindi ho $(n+2)^3 - (n+2) | 4$
che sviluppando risulta $n^3 + 2n^2 +4n + 2n^2 + 4n +8 -n -2$
ovvero $ (n^3-n) + 4n^2+8n+6 $
di quest'ultima, come dimostro che è divisibile per 4?
qualche suggerimento?
dunque se voglio dimostrare che $AA n >=1 -> n^3-n$ divisibile per 4 con n dispari
vado per il passo induttivo per $n+2$ (perchè devo prendere tutti gli n dispari)
quindi ho $(n+2)^3 - (n+2) | 4$
che sviluppando risulta $n^3 + 2n^2 +4n + 2n^2 + 4n +8 -n -2$
ovvero $ (n^3-n) + 4n^2+8n+6 $
di quest'ultima, come dimostro che è divisibile per 4?
qualche suggerimento?
Scusami caro ma stai attento ai conti! E stai attento anche alle notazioni, perché continui a scambiare l'ordine della relazione di divisbilità.
[tex](n+2)^3-(n+2)=n^3+6n^2+12n+8-n-2=(n^3-n)+6n^2+12n+6=(n^3-n)+6(n+1)^2[/tex]
Ora, [tex]4\,|\,(n^3-n)[/tex] per ipotesi induttiva e, essendo [tex]n[/tex] dispari, [tex]n+1=2m\,\,\exists m\in\mathbb{N}[/tex], ossia è pari. Allora [tex]2\,|\,(n+1)\Rightarrow 4\,|\,(n+1)^2[/tex] da cui concludiamo che la proposizione è verificata.
[tex](n+2)^3-(n+2)=n^3+6n^2+12n+8-n-2=(n^3-n)+6n^2+12n+6=(n^3-n)+6(n+1)^2[/tex]
Ora, [tex]4\,|\,(n^3-n)[/tex] per ipotesi induttiva e, essendo [tex]n[/tex] dispari, [tex]n+1=2m\,\,\exists m\in\mathbb{N}[/tex], ossia è pari. Allora [tex]2\,|\,(n+1)\Rightarrow 4\,|\,(n+1)^2[/tex] da cui concludiamo che la proposizione è verificata.
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