Verifica che sia un campo
sia $D$ un dominio e si consideri l'insieme $E={(a.b) | a in D, b in D, b !=0}$ e la relazione di equivalenza $~$ nel modo seguente $(a,b) ~ (a_1,b_1)$ se $ab_1=ba_1$.
Sia ora $Q$ l'insieme delle classi di equivalenza di questa relazione e si indichi con $a/b$ la classe di equivalenza che contiene la coppia $(a,b)$; siano poi $+$ e $*$ due operazioni cosi definite:
$a/b + a_1/b_1=(ab_1+a_1b)/(b(b_1))$ e $(a/b)*(a_1/b_1)=(aa_1)/(b(b_1))$
verificare che $(Q,+,*)$ è un campo:
per verificare che è un campo devo controllare che (giusto)?
1) $+$ è associativo
2) $*$ è associativo
3)esistenza $0$
4)esistenza $1$
5)esistenza opposto per $+$
6)commutatività $+$
7) commutatività $*$
8)esistenza inverso per elementi non nulli
9)distributività (sfruttando il fatto di 7))
ora non riesco a risolvere, oppure ho dubbi, su alcune verifiche:
6) $a/b + a_1/b_1=(ab_1+a_1b)/(b(b_1))$ e $a_1/b_1 + a/b=(a_1b+ab_1)/((b_1)b)$ ma ora come faccio a dimostrare che sono uguali? non riesco a capire come uscirne.
7)$(a/b)*(a_1/b_1)=(aa_1)/(b(b_1))$ e $(a_1/b_1)*(a/b)=(a_1a)/((b_1)b)$ e analogamente anche qui come faccio a verificare che sono uguali?
5) qui non ho proprio capito come ragionare per trovare l'opposto
9) $(a/b + a_1/b_1)*(a_2/b_2)=((ab_1+a_1b)/(b(b_1)))*(a_2/b_2)=(ab_1a_2+a_1ba_2)/(b(b_1)(b_2))$
e
$((a/b)*(a_2/b_2)) + ((a_1/b_1)*(a_2/b_2))=a(a_2)/(b(b_2)) + (a_1a_2)/(b_1(b_2))=(aa_2b_1 + a_1a_2b)/(b(b_2)(b_1))$ ma come faccio a dimostrare che sono equivalenti queste due scritture e dunque vale la prop. distributiva?
Grazie mille
Sia ora $Q$ l'insieme delle classi di equivalenza di questa relazione e si indichi con $a/b$ la classe di equivalenza che contiene la coppia $(a,b)$; siano poi $+$ e $*$ due operazioni cosi definite:
$a/b + a_1/b_1=(ab_1+a_1b)/(b(b_1))$ e $(a/b)*(a_1/b_1)=(aa_1)/(b(b_1))$
verificare che $(Q,+,*)$ è un campo:
per verificare che è un campo devo controllare che (giusto)?
1) $+$ è associativo
2) $*$ è associativo
3)esistenza $0$
4)esistenza $1$
5)esistenza opposto per $+$
6)commutatività $+$
7) commutatività $*$
8)esistenza inverso per elementi non nulli
9)distributività (sfruttando il fatto di 7))
ora non riesco a risolvere, oppure ho dubbi, su alcune verifiche:
6) $a/b + a_1/b_1=(ab_1+a_1b)/(b(b_1))$ e $a_1/b_1 + a/b=(a_1b+ab_1)/((b_1)b)$ ma ora come faccio a dimostrare che sono uguali? non riesco a capire come uscirne.
7)$(a/b)*(a_1/b_1)=(aa_1)/(b(b_1))$ e $(a_1/b_1)*(a/b)=(a_1a)/((b_1)b)$ e analogamente anche qui come faccio a verificare che sono uguali?
5) qui non ho proprio capito come ragionare per trovare l'opposto
9) $(a/b + a_1/b_1)*(a_2/b_2)=((ab_1+a_1b)/(b(b_1)))*(a_2/b_2)=(ab_1a_2+a_1ba_2)/(b(b_1)(b_2))$
e
$((a/b)*(a_2/b_2)) + ((a_1/b_1)*(a_2/b_2))=a(a_2)/(b(b_2)) + (a_1a_2)/(b_1(b_2))=(aa_2b_1 + a_1a_2b)/(b(b_2)(b_1))$ ma come faccio a dimostrare che sono equivalenti queste due scritture e dunque vale la prop. distributiva?
Grazie mille
Risposte
$D$ è commutativo. Ne hai costruito il campo delle frazioni.
"solaàl":
$D$ è commutativo. Ne hai costruito il campo delle frazioni.
tralasciando l'opposto che non so davvero come fare, quindi gli altri passaggi che ho fatto e avevo dubbi sono corretti perchè siamo in un Dominio?
Ti è chiaro cos'è un anello commutativo?
"solaàl":
Ti è chiaro cos'è un anello commutativo?
spero di sì, è un anello in cui la moltiplicazione è anche commutativa e dunque in effetti i miei dubbi sono "insensati" perchè una volta calcolata l'espressione sono in $D$ e dunque vale la proprietà commutativa...ho detto correttamente?
invece per l'opposto come potrei fare?
"Aletzunny":
6) $a/b + a_1/b_1=(ab_1+a_1b)/(b(b_1))$ e $a_1/b_1 + a/b=(a_1b+ab_1)/((b_1)b)$ ma ora come faccio a dimostrare che sono uguali? non riesco a capire come uscirne.
Com'è definita la relazione di equivalenza su $E$?
$ab_1=ba_1$...quindi dovrei usare quelle? Mi sto perdendo completamente
Questo tipo di esercizi si risolve semplicemente applicando le definizioni che ti sono date. Non serve nessuna idea strana o difficile in più. Hai un insieme quoziente \(E/\sim\) e due classi di equivalenza \([(a,b)]\) e \([(c,d)]\) che l'esercizio ti dice che vengono denotate con \(a/b\) e \(c/d\) per comodità. Devi verificare che siano la stessa classe, come fai? Applicando la definizione, che ti dice che quelle classi sono uguali se $ad=bc$.
"hydro":
Questo tipo di esercizi si risolve semplicemente applicando le definizioni che ti sono date. Non serve nessuna idea strana o difficile in più. Hai un insieme quoziente \(E/\sim\) e due classi di equivalenza \([(a,b)]\) e \([(c,d)]\) che l'esercizio ti dice che vengono denotate con \(a/b\) e \(c/d\) per comodità. Devi verificare che siano la stessa classe, come fai? Applicando la definizione, che ti dice che quelle classi sono uguali se $ad=bc$.
Perdonami ma non sto capendo: ad esempio questo conto so che va fatto perché ce lo ha lasciato il prof da verificare, ma quello che non capisco è come faccio a dimostrare che queste due espressioni sono equivalenti...cosa non ho capito ? Sono immediate già scritte cosi?
$a/b + a_1/b_1=(ab_1+a_1b)/(b(b_1))$ e $a_1/b_1 + a/b=(a_1b+ab_1)/((b_1)b)$
Grazie
$(ab_1+a_1b)/(b(b_1))$ e $(a_1b+ab_1)/((b_1)b)$ sono la stessa frazione. $D$ è commutativo.
"solaàl":
$(ab_1+a_1b)/(b(b_1))$ e $(a_1b+ab_1)/((b_1)b)$ sono la stessa frazione. $D$ è commutativo.
Quindi essendo $D$ commutativo sia per $+$ che $*$ allora i passaggi che ho scritto sopra sono corretti...ho capito correttamente?
Ma ora come posso fare per l'inverso?
Grazie
Siccome $D$ è commutativo, $(ab_1a_2+a_1ba_2)/(b b_1b_2) = (aa_2b_1 + a_1a_2b)/(b b_2 b_1)$.
"solaàl":
Siccome $D$ è commutativo, $(ab_1a_2+a_1ba_2)/(bb_1b_2) = (aa_2b_1 + a_1a_2b)/(bb_2b_1)$.
Qui dunque sarebbe l'applicazione delle proprietà commutativa di $D$ giusto?
Invece ho provato a fare ancora per l'ennesima volta l'inverso ma non riesco proprio a capire come devo fare...come posso agire?
Sto davvero avendo dei problemi a capire cosa non capisci: le operazioni con le frazioni si fanno alle medie, no?
"solaàl":
Sto davvero avendo dei problemi a capire cosa non capisci: le operazioni con le frazioni si fanno alle medie, no?
non riesco a capire come dimostrare che dato $a/b in Q$, allora esiste $j$ tale che quando si fa
$a/b + j=0/1$ dove $0/1$ è l'elemento neutro di $+$ in $Q$
"Aletzunny":
[quote="solaàl"]Sto davvero avendo dei problemi a capire cosa non capisci: le operazioni con le frazioni si fanno alle medie, no?
non riesco a capire come dimostrare che dato $a/b in Q$, allora esiste $j$ tale che quando si fa
$a/b + j=0/1$ dove $0/1$ è l'elemento neutro di $+$ in $Q$[/quote]
Ho provato a fare così ma non sono sicuro
$a/b+(-a/b)=(ab-ab)/(bb)=0/(bb)$ e poiché $(0,bb)~(0,1)$ si ha che $a/b+(-a/b)=(ab-ab)/(bb)=0/(bb)=0/1$ ma non sicuro della correttezza
"Aletzunny":
[quote="solaàl"]Sto davvero avendo dei problemi a capire cosa non capisci: le operazioni con le frazioni si fanno alle medie, no?
non riesco a capire come dimostrare che dato $a/b in Q$, allora esiste $j$ tale che quando si fa
$a/b + j=0/1$ dove $0/1$ è l'elemento neutro di $+$ in $Q$[/quote]
\(\frac{-a}{b}\).
"solaàl":
[quote="Aletzunny"][quote="solaàl"]Sto davvero avendo dei problemi a capire cosa non capisci: le operazioni con le frazioni si fanno alle medie, no?
non riesco a capire come dimostrare che dato $a/b in Q$, allora esiste $j$ tale che quando si fa
$a/b + j=0/1$ dove $0/1$ è l'elemento neutro di $+$ in $Q$[/quote]
\(\frac{-a}{b}\).[/quote]
Ho provato a fare così ma non sono sicuro della correttezza
$a/b+(-a/b)$ $=$ $0/(b(b))$ e poiché $(0,b(b))~(0,1)$ si ha che $a/b+(-a/b)$ $=(ab-ab)/(b(b))=0/(b(b))=0/1$
corretto?
grazie
Aletzunny, come ti sta dicendo solaàl da un po' di post, la costruzione di $Q$ a partire da $D$ è la stessa che porta a costruire $QQ$ partendo da $ZZ$.
Quindi puoi ragionare per analogia (sempre che tu sappia cosa sono e come si manipolano le frazioni ordinarie...).
Ad esempio, quali sono gli opposti di $1/2, (-2)/3, (-7)/(-15), 3/(-128)$? (Attenzione: non vale scrivere il $-$ davanti alla frazione![nota]Perché quello che vuoi definire è "che vuol dire" mettere il $-$ davanti ad una frazione...[/nota])
Che regola generale ne trai?
La puoi applicare nel caso generale, cioè in $Q$?
La riesci a dimostrare?
Questa cosa nel caso dell'opposto l'hai fatta.
Puoi fare lo stesso, nel caso generale, per le altre proprietà?
Quindi puoi ragionare per analogia (sempre che tu sappia cosa sono e come si manipolano le frazioni ordinarie...).
Ad esempio, quali sono gli opposti di $1/2, (-2)/3, (-7)/(-15), 3/(-128)$? (Attenzione: non vale scrivere il $-$ davanti alla frazione![nota]Perché quello che vuoi definire è "che vuol dire" mettere il $-$ davanti ad una frazione...[/nota])
Che regola generale ne trai?
La puoi applicare nel caso generale, cioè in $Q$?
La riesci a dimostrare?
Questa cosa nel caso dell'opposto l'hai fatta.
Puoi fare lo stesso, nel caso generale, per le altre proprietà?
"gugo82":
Aletzunny, come ti sta dicendo solaàl da un po' di post, la costruzione di $Q$ a partire da $D$ è la stessa che porta a costruire $QQ$ partendo da $ZZ$.
Quindi puoi ragionare per analogia (sempre che tu sappia cosa sono e come si manipolano le frazioni ordinarie...).
Ad esempio, quali sono gli opposti di $1/2, (-2)/3, (-7)/(-15), 3/(-128)$? (Attenzione: non vale scrivere il $-$ davanti alla frazione![nota]Perché quello che vuoi definire è "che vuol dire" mettere il $-$ davanti ad una frazione...[/nota])
Che regola generale ne trai?
La puoi applicare nel caso generale, cioè in $Q$?
La riesci a dimostrare?
Questa cosa nel caso dell'opposto l'hai fatta.
Puoi fare lo stesso, nel caso generale, per le altre proprietà?
gli opposti sono $-1/2;2/3;-7/15;3/128$
non ho però capito come dovrei modificare la mia dimostrazione dell'esistenza dell'opposto.
Dovrei considera l'elemento $-a$ e dunque $a/b + (-a)/b$ ma poi come applico senza usare il $-$ la definizione di $+$ fatta sopra?
grazie
Aletz, tanto per curiosità... Ma le leggi attentamente le risposte che ti vengono date?
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