Verifica che sia un campo
sia $D$ un dominio e si consideri l'insieme $E={(a.b) | a in D, b in D, b !=0}$ e la relazione di equivalenza $~$ nel modo seguente $(a,b) ~ (a_1,b_1)$ se $ab_1=ba_1$.
Sia ora $Q$ l'insieme delle classi di equivalenza di questa relazione e si indichi con $a/b$ la classe di equivalenza che contiene la coppia $(a,b)$; siano poi $+$ e $*$ due operazioni cosi definite:
$a/b + a_1/b_1=(ab_1+a_1b)/(b(b_1))$ e $(a/b)*(a_1/b_1)=(aa_1)/(b(b_1))$
verificare che $(Q,+,*)$ è un campo:
per verificare che è un campo devo controllare che (giusto)?
1) $+$ è associativo
2) $*$ è associativo
3)esistenza $0$
4)esistenza $1$
5)esistenza opposto per $+$
6)commutatività $+$
7) commutatività $*$
8)esistenza inverso per elementi non nulli
9)distributività (sfruttando il fatto di 7))
ora non riesco a risolvere, oppure ho dubbi, su alcune verifiche:
6) $a/b + a_1/b_1=(ab_1+a_1b)/(b(b_1))$ e $a_1/b_1 + a/b=(a_1b+ab_1)/((b_1)b)$ ma ora come faccio a dimostrare che sono uguali? non riesco a capire come uscirne.
7)$(a/b)*(a_1/b_1)=(aa_1)/(b(b_1))$ e $(a_1/b_1)*(a/b)=(a_1a)/((b_1)b)$ e analogamente anche qui come faccio a verificare che sono uguali?
5) qui non ho proprio capito come ragionare per trovare l'opposto
9) $(a/b + a_1/b_1)*(a_2/b_2)=((ab_1+a_1b)/(b(b_1)))*(a_2/b_2)=(ab_1a_2+a_1ba_2)/(b(b_1)(b_2))$
e
$((a/b)*(a_2/b_2)) + ((a_1/b_1)*(a_2/b_2))=a(a_2)/(b(b_2)) + (a_1a_2)/(b_1(b_2))=(aa_2b_1 + a_1a_2b)/(b(b_2)(b_1))$ ma come faccio a dimostrare che sono equivalenti queste due scritture e dunque vale la prop. distributiva?
Grazie mille
Sia ora $Q$ l'insieme delle classi di equivalenza di questa relazione e si indichi con $a/b$ la classe di equivalenza che contiene la coppia $(a,b)$; siano poi $+$ e $*$ due operazioni cosi definite:
$a/b + a_1/b_1=(ab_1+a_1b)/(b(b_1))$ e $(a/b)*(a_1/b_1)=(aa_1)/(b(b_1))$
verificare che $(Q,+,*)$ è un campo:
per verificare che è un campo devo controllare che (giusto)?
1) $+$ è associativo
2) $*$ è associativo
3)esistenza $0$
4)esistenza $1$
5)esistenza opposto per $+$
6)commutatività $+$
7) commutatività $*$
8)esistenza inverso per elementi non nulli
9)distributività (sfruttando il fatto di 7))
ora non riesco a risolvere, oppure ho dubbi, su alcune verifiche:
6) $a/b + a_1/b_1=(ab_1+a_1b)/(b(b_1))$ e $a_1/b_1 + a/b=(a_1b+ab_1)/((b_1)b)$ ma ora come faccio a dimostrare che sono uguali? non riesco a capire come uscirne.
7)$(a/b)*(a_1/b_1)=(aa_1)/(b(b_1))$ e $(a_1/b_1)*(a/b)=(a_1a)/((b_1)b)$ e analogamente anche qui come faccio a verificare che sono uguali?
5) qui non ho proprio capito come ragionare per trovare l'opposto
9) $(a/b + a_1/b_1)*(a_2/b_2)=((ab_1+a_1b)/(b(b_1)))*(a_2/b_2)=(ab_1a_2+a_1ba_2)/(b(b_1)(b_2))$
e
$((a/b)*(a_2/b_2)) + ((a_1/b_1)*(a_2/b_2))=a(a_2)/(b(b_2)) + (a_1a_2)/(b_1(b_2))=(aa_2b_1 + a_1a_2b)/(b(b_2)(b_1))$ ma come faccio a dimostrare che sono equivalenti queste due scritture e dunque vale la prop. distributiva?
Grazie mille
Risposte
"gugo82":
Aletz, tanto per curiosità... Ma le leggi attentamente le risposte che ti vengono date?
non sto capendo cosa volete farmi capire e ho provato a rispondere al tuo post!
sto cercando in tutti i modi di dimostrare l'esistenza di questo opposto ma non riesco a venirne a una.
mi avete suggerito $(-a)/b$ e ho provato ad applicarlo...ma dove sbaglio? o cosa dovrei cambiare? qui non ho compreso cosa volete dirmi
grazie
"gugo82":
Aletz, tanto per curiosità... Ma le leggi attentamente le risposte che ti vengono date?
ragionando ho provato a farlo cosi, spero di aver capito la discussione su $-$
l'elemento neutro di $+$ è $0/1$ dunque
$a/b + c/d =0/1 $ $-> (ad+cb)/(bd)=0/1$ e dunque poichè $(ad + cb,bd)~(0,1)$ allora $ad+cb=0$ sse $ad=-cb$, cioè $a/b= -c/d$ cioè $c/d=-a/b$ e dunque ogni elemento $a/b$ ha l'opposto $-a/b$
"gugo82":
Aletz, tanto per curiosità... Ma le leggi attentamente le risposte che ti vengono date?
Io il mio massimo impegno l'ho messo per cercare di capire l'esercizio, ora sarebbe bello avere un riscontro.
Grazie
"gugo82":
Aletzunny, come ti sta dicendo solaàl da un po' di post, la costruzione di $Q$ a partire da $D$ è la stessa che porta a costruire $QQ$ partendo da $ZZ$.
Quindi puoi ragionare per analogia (sempre che tu sappia cosa sono e come si manipolano le frazioni ordinarie...).
Ad esempio, quali sono gli opposti di $1/2, (-2)/3, (-7)/(-15), 3/(-128)$? (Attenzione: non vale scrivere il $-$ davanti alla frazione![nota]Perché quello che vuoi definire è "che vuol dire" mettere il $-$ davanti ad una frazione...[/nota])
Che regola generale ne trai?
La puoi applicare nel caso generale, cioè in $Q$?
La riesci a dimostrare?
Quando viene scritto "ad esempio", vuol dire, per l'appunto, che si sta facendo un esempio, portando a modello una situazione nota.
Non significa che hai sbagliato la dimostrazione.
Anche perché poi il post continua con:
"gugo82":
Questa cosa nel caso dell'opposto l'hai fatta.
che rimarca quanto appena detto.
Poi viene la domanda seria del post, quella per cui ti invitavo a ragionare sull'esempio e sui meccanismi che hai messo in campo per risolvere quella situazione:
"gugo82":
Puoi fare lo stesso, nel caso generale, per le altre proprietà?
P.S: L'opposto di $a/b$ è $(-a)/b$. Infatti $a/b + (-a)/b = 0/b equiv 0/1 = 0_Q$ e tanto basta, perché hai già dimostrato che $+$ è commutativa in $Q$.
Da qui trai anche la validità in $Q$ della "solita" regola: $(-a)/b = - a/b$.
Riesci a dimostrare che anche $a/(-b) = - a/b$?
"gugo82":
[quote="gugo82"]Aletzunny, come ti sta dicendo solaàl da un po' di post, la costruzione di $Q$ a partire da $D$ è la stessa che porta a costruire $QQ$ partendo da $ZZ$.
Quindi puoi ragionare per analogia (sempre che tu sappia cosa sono e come si manipolano le frazioni ordinarie...).
Ad esempio, quali sono gli opposti di $1/2, (-2)/3, (-7)/(-15), 3/(-128)$? (Attenzione: non vale scrivere il $-$ davanti alla frazione![nota]Perché quello che vuoi definire è "che vuol dire" mettere il $-$ davanti ad una frazione...[/nota])
Che regola generale ne trai?
La puoi applicare nel caso generale, cioè in $Q$?
La riesci a dimostrare?
Quando viene scritto "ad esempio", vuol dire, per l'appunto, che si sta facendo un esempio, portando a modello una situazione nota.
Non significa che hai sbagliato la dimostrazione.
Anche perché poi il post continua con:
"gugo82":
Questa cosa nel caso dell'opposto l'hai fatta.
che rimarca quanto appena detto.
Poi viene la domanda seria del post, quella per cui ti invitavo a ragionare sull'esempio e sui meccanismi che hai messo in campo per risolvere quella situazione:
"gugo82":
Puoi fare lo stesso, nel caso generale, per le altre proprietà?
P.S: L'opposto di $a/b$ è $(-a)/b$. Infatti $a/b + (-a)/b = 0/b equiv 0/1 = 0_Q$ e tanto basta, perché hai già dimostrato che $+$ è commutativa in $Q$.
Da qui trai anche la validità in $Q$ della "solita" regola: $(-a)/b = - a/b$.
Riesci a dimostrare che anche $a/(-b) = - a/b$?[/quote]
ok mi sembra di aver capito, ma ora mi sorge un dubbio.
la seconda dimostrazione che ho postato, quella che usa $c/d$ è sbagliata oppure è semplicemente più lunga e "inutile" poichè potrei dimostrarla in 2 passaggi come da te fatto?
grazie
Il linguaggio formale è stato creato ed è utilizzato per abbreviare i discorsi, quando possibile.
Questo è un caso in cui è possibile.
Questo è un caso in cui è possibile.
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