Variabili effettive e pseudovariabili-Definizione possibile
Salve a tutti.
Sto leggendo la "Enciclopedia delle matematiche elementari e complementi". Nel primo capitolo, libro I, si tratta di "variabili effettive" e "pseudovariabili" e, un paio di paragrafi dopo, di "definizione possibile" e di "definizione atuale", con distinzione basata sulla presenza nell'enunciato di variabili effettive.
Ho letto e riletto diverse volte, ma alcuni esempi mi sembrano assolutamente identici. Non sempre riesco a cogliere la differenza tra variabile effettiva e pseudovariabile, nè tra definizione possibile e definizione attuale.
Qualcuno conosce bene le definizioni di questi concetti? In rete non ho trovato nulla.
Grazie.
Sto leggendo la "Enciclopedia delle matematiche elementari e complementi". Nel primo capitolo, libro I, si tratta di "variabili effettive" e "pseudovariabili" e, un paio di paragrafi dopo, di "definizione possibile" e di "definizione atuale", con distinzione basata sulla presenza nell'enunciato di variabili effettive.
Ho letto e riletto diverse volte, ma alcuni esempi mi sembrano assolutamente identici. Non sempre riesco a cogliere la differenza tra variabile effettiva e pseudovariabile, nè tra definizione possibile e definizione attuale.
Qualcuno conosce bene le definizioni di questi concetti? In rete non ho trovato nulla.
Grazie.
Risposte
Potresti postare alcuni di questi esempi?
Cercherò di riportare sinteticamente.
Il testo propone la distinzione fatta da G.Peano tra variabili apparenti e variabili reali, rinominandole rispettivamente come pseudovariabili e variabili effettive, per evitare la confusione con le locuzioni "frazione apparente" e "funzione di variabile reale".
Vengono dette pseudovariabili, se è lecito sostuituirle con altre nella proposizione, variabili effettive se non è lecito sostituirle.
Partiamo da:
(5) <<a è un numero>>
In questo caso, la verità o falsità della (5), che è una condizione, è data dalla natura di a. Per cui, se scriviamo <<b è un numero>>, non stiamo riscrivendo la stessa condizione, ma un'altra condizione, in quanto dipende dalla natura di b.
In questo caso si parla di variabile effettiva e, più avanti, trovo l'enunciato secondo cui in ogni condizione deve trovarsi almeno una variabile effettiva (ma non si esclude la presenza di pseudovariabili).
Mentre, nella proposizione:
(12) <a è un numero, allora 0+a=a>>
se sostituiamo ad a la lettera b, il significato della definizione, in questo caso relativa al numero 0, non cambia. Qui a è una pseudovariabile. L'enunciato recita, che <<ogni variabile, usata in una proposizione, è una pseudovariabile>>.
Fin qui, ci arrivo.
Si procede convertendo la (12) in:
(16) <a è un numero, allora x+a=a>>
cit."in cui la variabile a è una pseudovariabile, mentre x è una variabile effettiva. Diremo... che la (16) è una <>."
Già qui, mi sorge un dubbio.
Capisco che a è pseudovariabile e x variabile effettiva, perché il significato di x è definito, mentre a è nel definente. Ma se sostituisco ad x la lettera y, non ottengo lo stesso risultato? D'altronde, non sto definendo il significato assoluto della lettera x, ma il significato attribuito momentaneamente ad x, solo nel contesto. Quindi, perché x non dovrebbe essere una pseudovariabile?
Difatti, mi risorge il dubbio poco oltre.
Nella proposizione:
(20) <<0=qel numero x, tale che: se a è un numero, allora x+a=a>>
cit."Si osservi che x, la quale era variabile effettiva nella (16), è divenuta pseudovariabile nella ...(20)".
Si passa poi a deinire Definzioni possibili e Definizioni attuali. (Siamo sempre nel merito).
cit."Chiameremo <<definizione possibile di un simbolo>> ogni eguaglianza fra codesto simbolo ed una scrittura priva di variabili effettive, in cui quel simbolo non sia adoperato."
Ad es.:
(23) <<1 = il successivo di 0>>
è una Definizione possibile (Dfp) di <<1>> mediante i simboli <<0>> ed <>.
Invece:
(24) <<0=a-a>>
non è una Dfp di <<0>> perché a è una variabile effettiva nella scrittura definente << a-a >>.
Non si risolve scrivendo:
(25) <a
è un numero, allora 0=a-a>>, perché, quantunque la (25) sia una P e quindi in essa a sia una pseudovariabile, invece a è ancora
una variabile effettiva in << a-a >>.
.....
Si risolve scrivendo:
(26) << 0 = quel numero x tale che: se a è un numero, allora x=a-a>>.
cit."Infatti: le variabili x ed a della scrittura definente (che segue il primo << = >>) sono pseudovariabili.
Poi si prosegue fino a definire definizione attuale come una Dfp, ma soggetta a due vincoli:
- se la scrittura definita è un simbolo, esso non si trovi in alcuna P precedente nel trattato stesso;
- se la scrittura definita è composta di un simbolo e di qualche variabile effettiva, quel simbolo non si trovi in alcuna P precedente del trattato stesso o vi si trovi usato diversamente."
Mi spiace per la lungaggine, ma dovevo riportare.
Nella (26) non capisco perché la x diventi pseudovariabile, dal momento che "rappresenta" lo zero come nella (16). O mi sfugge qualcosa?
Grazie.
Il testo propone la distinzione fatta da G.Peano tra variabili apparenti e variabili reali, rinominandole rispettivamente come pseudovariabili e variabili effettive, per evitare la confusione con le locuzioni "frazione apparente" e "funzione di variabile reale".
Vengono dette pseudovariabili, se è lecito sostuituirle con altre nella proposizione, variabili effettive se non è lecito sostituirle.
Partiamo da:
(5) <<a è un numero>>
In questo caso, la verità o falsità della (5), che è una condizione, è data dalla natura di a. Per cui, se scriviamo <<b è un numero>>, non stiamo riscrivendo la stessa condizione, ma un'altra condizione, in quanto dipende dalla natura di b.
In questo caso si parla di variabile effettiva e, più avanti, trovo l'enunciato secondo cui in ogni condizione deve trovarsi almeno una variabile effettiva (ma non si esclude la presenza di pseudovariabili).
Mentre, nella proposizione:
(12) <
se sostituiamo ad a la lettera b, il significato della definizione, in questo caso relativa al numero 0, non cambia. Qui a è una pseudovariabile. L'enunciato recita, che <<ogni variabile, usata in una proposizione, è una pseudovariabile>>.
Fin qui, ci arrivo.
Si procede convertendo la (12) in:
(16) <
cit."in cui la variabile a è una pseudovariabile, mentre x è una variabile effettiva. Diremo... che la (16) è una <
Già qui, mi sorge un dubbio.
Capisco che a è pseudovariabile e x variabile effettiva, perché il significato di x è definito, mentre a è nel definente. Ma se sostituisco ad x la lettera y, non ottengo lo stesso risultato? D'altronde, non sto definendo il significato assoluto della lettera x, ma il significato attribuito momentaneamente ad x, solo nel contesto. Quindi, perché x non dovrebbe essere una pseudovariabile?
Difatti, mi risorge il dubbio poco oltre.
Nella proposizione:
(20) <<0=qel numero x, tale che: se a è un numero, allora x+a=a>>
cit."Si osservi che x, la quale era variabile effettiva nella (16), è divenuta pseudovariabile nella ...(20)".
Si passa poi a deinire Definzioni possibili e Definizioni attuali. (Siamo sempre nel merito).
cit."Chiameremo <<definizione possibile di un simbolo>> ogni eguaglianza fra codesto simbolo ed una scrittura priva di variabili effettive, in cui quel simbolo non sia adoperato."
Ad es.:
(23) <<1 = il successivo di 0>>
è una Definizione possibile (Dfp) di <<1>> mediante i simboli <<0>> ed <
Invece:
(24) <<0=a-a>>
non è una Dfp di <<0>> perché a è una variabile effettiva nella scrittura definente << a-a >>.
Non si risolve scrivendo:
(25) <
è un numero, allora 0=a-a>>, perché, quantunque la (25) sia una P e quindi in essa a sia una pseudovariabile, invece a è ancora
una variabile effettiva in << a-a >>.
.....
Si risolve scrivendo:
(26) << 0 = quel numero x tale che: se a è un numero, allora x=a-a>>.
cit."Infatti: le variabili x ed a della scrittura definente (che segue il primo << = >>) sono pseudovariabili.
Poi si prosegue fino a definire definizione attuale come una Dfp, ma soggetta a due vincoli:
- se la scrittura definita è un simbolo, esso non si trovi in alcuna P precedente nel trattato stesso;
- se la scrittura definita è composta di un simbolo e di qualche variabile effettiva, quel simbolo non si trovi in alcuna P precedente del trattato stesso o vi si trovi usato diversamente."
Mi spiace per la lungaggine, ma dovevo riportare.
Nella (26) non capisco perché la x diventi pseudovariabile, dal momento che "rappresenta" lo zero come nella (16). O mi sfugge qualcosa?
Grazie.
Allora io l'ho interpretato in questo modo:
quando dice <>
$a$ e' una pseudovariabile e $x$ una variabile effettiva (in quanto se ne modifichi il contenuto la proposizione non e' piu' vera, ovviamente in funzione di quanto enunciato prima che "se a e' un
numero, allora 0+a=a")
Nel caso di <<0=quel numero $x$, tale che: se $a$ e' un numero, allora $x+a=a$>>
$x$ diventa una pseudovariabile in quanto viene stabilito prima il suo valore (0=quel numero...),
per cui anche se cambi il nome della variabile nella proposizione il suo valore rimane inalterato
come rimane inalterato il valore di verita' della proposizione stessa.
quando dice <
$a$ e' una pseudovariabile e $x$ una variabile effettiva (in quanto se ne modifichi il contenuto la proposizione non e' piu' vera, ovviamente in funzione di quanto enunciato prima che "se a e' un
numero, allora 0+a=a")
Nel caso di <<0=quel numero $x$, tale che: se $a$ e' un numero, allora $x+a=a$>>
$x$ diventa una pseudovariabile in quanto viene stabilito prima il suo valore (0=quel numero...),
per cui anche se cambi il nome della variabile nella proposizione il suo valore rimane inalterato
come rimane inalterato il valore di verita' della proposizione stessa.
Si, mi sembra più chiaro.
Per cui in: <a è un numero, allora $x+a=a$>>, la x è variabile effettiva perché ne viene definito l'unico significato possibile (per altro, sull'unicità del significato si torna a proposito delle definizioni attuali).
Ti ringrazio per il chiarimento.
Mi sono anche accorto, che ieri, non avendo il testo sotto mano, ho cercato su google pseudovariabili e variabili effettive, senza trovare nulla. Cercando invece la distinzione trattata da Peano, ho trovato altro materiale, che leggerò.
Grazie ancora.
Per cui in: <
Ti ringrazio per il chiarimento.
Mi sono anche accorto, che ieri, non avendo il testo sotto mano, ho cercato su google pseudovariabili e variabili effettive, senza trovare nulla. Cercando invece la distinzione trattata da Peano, ho trovato altro materiale, che leggerò.
Grazie ancora.
Di nulla, e' stato un piacere 
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