Valutazioni

[thecrazy1]

Sia v è una valutazione come definita qua https://en.wikipedia.org/wiki/Valuation_(algebra) cioè un omorfismo dal gruppo moltiplicativo di un campo K ad un gruppo abeliano totalemte ordinato che verifica certi assiomi. Ora io non riesco a capire bene il perchè "the valuation ring of v, denoted Rv is the set of elements a of K such that v(a) ≥ 0, it is a valuation ring". Mi è chiaro che Rv è stabile rispetto al prodotto, e mi è chiaro che dimostrato che è un anello allora è di di valutazione ma non mi è chiaro perchè sia sottogruppo additivo. In sostanza se a e b stanno in Rv perchè anche a-b vi appartiene? O anche quanto fa v(-1) perchè quello è il problema, dalla definizione di valutazione non riesco a capire quanto fa v(-1). Mi sapete rispondere?

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Se $v(1)$ e $v(-1)$ sono diversi allora $oo = v(0) = v(1+(-1)) = min \{v(1),v(-1)\}$ da cui $v(1) = oo = v(-1)$ assurdo, quindi $v(1)=v(-1)$. O mi sbaglio?

[thecrazy1]

ci sono arrivato da solo, mi bastava sapere che v(-1) non fosse <0 e infatti non lo è perchè se lo fosse allora v(1)=v((-1)(-1))=v(-1)+v(-1)sarebbe <0.

[Stickelberger]

Ma $\ldots$ $v(1)+v(1)= v(1)$ e quindi $v(1)=0$, no?
E anche $v(-1)=0$.