Valore somma di Jacobi biquadratica

[denver2]

Sto studiando individualmente su A Classical Introduction to Modern Number Theory di K. Ireland e M. Rosen e ho (da due giorni interi) difficoltà a capire il modo in cui scrive il valore della somma di Jacobi biquadratica in una dimostrazione.

Per brevità il libro con D si riferisce a Z.

Qui sotto ho riportato dall'inizio della sezione fino alla fine della dimostrazione della Proposition 9.9.3 , in cui mi interessa unicamente capire perchè la somma di Jacobi biquadratica assume quel valore all'inizio.



Al di là di questo, una domanda generale. È la prima volta in tutto il libro che non comprendo il "perchè" di uno specifico passaggio; ci sono consigli o materiale da studiare per superare ostacoli simili con più "agilità" oppure è solo una questione di elasticità mentale?
Provengo da ing ed è la prima volta che vado così a fondo nelle dimostrazioni...

Mi scuso se il termine "somma di Jacobi biquadratica" non esiste; non ne conosco il corrispettivo in italiano.

Ringrazio anticipatamente chiunque mi aiuti.

[denver2]

Sono ad un punto di svolta.

Sul fondo di pagina 12 qui: http://www.emis.de/journals/INTEGERS/papers/l48/l48.pdf

La sommatoria viene sviluppata in tre intervalli. per avere $((p+1)/2)^2$ vuol dire che per $t=(p+1)/2$ si ha che $1-t=t$ ;
ma $1-t=(-p+1)/2$ ; è questo che adesso non capisco, ma tenterò oggi.

Spero qualcuno trovi il tempo per aiutarmi e per rispondere alla mia seconda domanda nel mio primo intervento.

Avanzo una mia ipotesi: $N(\pi)=p= \pi \bar\pi$ ; essendo $-p = -\pi \bar\pi$ si ha che $-p$ è un associato di $\pi \bar\pi$ , ovvero in $Z$ $p$ differisce da $-p$ per esser stato moltiplicato da $-1$ che è una unità in $Z$;
si ha quindi che $u \pi \bar\pi=p=-p=\pi \bar\pi$