Uso dell'implicazione

[DR1]

Esempio: assioma dell'estensionalità $A=B iff (x in A iff x in B)$; supponendo di doverlo usare in un esercizio per dimostrare l'uguaglianza (o equivalenza) di due insiemi.
Si dovrebbe dimostrare $A=B rArr (x in A iff x in B) ^^ (x in A iff x in B) rArr A=B$ a causa della doppia implicazione;
per convenienza partiamo dalla dimostrazione di $(x in A iff x in B) rArr A=B$, dunque bisogna dimostrare che $x in A rArr x in B$ che per risultare vera deve essere vero che $x in B$, mentre in $x in B rArr x in A$ deve essere vero $x in A$.
Supponiamo di avere dimostrato che $(x in A iff x in B)$ è vera, ora dobbiamo dimostrare $(x in A iff x in B) rArr A=B$ e per farlo dobbiamo dimostrare che $A=B$ è vera (infatti $P rArr Q$ è vera quando $Q$ risulta vera);
ma come si fà ? si usa $(x in A iff x in B)$ e mettendolo al posto di $A=B$ viene fuori che si vuole dimostrare $(x in A iff x in B) iff (x in A iff x in B)$ , ma se l'ho gia dimostrato, ecco una dimostrazione di dove porta l'uso delle implicazioni in questi casi.
Secondo voi è corretto usare l'implicazione, singola o doppia, in questi casi ?
Non sarebbe megli definire $A=B$ in questo modo $A=B : = (x in A iff x in B)$, invece di fare dimostrazioni insensate ?

[mickey88]

Confesso di non ricordare a memoria gli assiomi della teoria degli insiemi, tuttavia ho l'impressione che tu non ne stia facendo un uso corretto. Ammesso che l'assioma di estensionalità sia come lo hai descritto tu (quello che dico prescinde dall'assioma particolare), poi tu dici

assioma dell'estensionalità A=B⇔(x∈A⇔x∈B); supponendo di doverlo usare in un esercizio per dimostrare l'uguaglianza (o equivalenza) di due insiemi.
Si dovrebbe dimostrare A=B⇒(x∈A⇔x∈B)∧(x∈A⇔x∈B)⇒A=B a causa della doppia implicazione

Direi proprio di no! Quello che tu hai scritto è proprio l'assioma! Gli assiomi sono fatti appositamente per NON essere dimostrati! Se vuoi usare l'assioma per verificare che due insiemi sono ugulai, usi solo la seconda parte:
se dimostri che
$x∈A⇔x∈B$
allora, grazie all'assioma, concludi che $A=B$.
Spero di esser stato d'aiuto.

[DR1]

mickey88 ovviamente un assioma in quanto tale lo si assume sempre vero, la mia era un supposizione per mettere in evidenza l'uso dell'implicazione.

[mickey88]

allora non capisco qual'e' la tua obiezione agli esercizi o comunque dove stia il problema.. cioe', quoto di nuovo, quando scrivi

assioma dell'estensionalità A=B⇔(x∈A⇔x∈B); supponendo di doverlo usare in un esercizio per dimostrare l'uguaglianza (o equivalenza) di due insiemi.
Si dovrebbe dimostrare A=B⇒(x∈A⇔x∈B)∧(x∈A⇔x∈B)⇒A=B a causa della doppia implicazione

Cosa vuoi dire? Sei tu a pensare che questa affermazione sia vera (non lo e'!) o la attribuisci a qualcunaltro?