Uno strano risultato sui gruppi semplici.

[mklplo751]

Salve, ultimamente sto riniziando a studiare la teoria dei gruppi (e la trovo molto più complicata di analisi 2 e di geometria 2), e mi sono imbattuto in un esercizio, che dopo aver fatto, ho provato a generalizzare e mi è venuto un risultato strano.
L'esercizio chiedeva di dimostrare che se un gruppo è di ordine $pq$ con $p Per dimsotrarlo ho usato quest altro risultato (preso da un esercizio) "Sia $p$ il più piccolo primo che divide l'ordine di un gruppo finito. Allora un sottogruppo di indice $p$ è normale".
Dal risultato si dimostra che nel se un gruppo ha ordine $pq$ con $p La cosa strana per me è stata questa:
Prendiamo un gruppo $G$ di ordine $m=p_0^(a_0).....p_n^(a_n)$ siano $p_0<..... < p_n$ primi e siano $a_0,...,a_n$ dei numeri naturali. Per il risultato di prima esiste un sottogruppo normale di ordine $m/p_0$ e allora un gruppo il cui ordine non è un numero primo avrà un sottogruppo normale non banale e quindi non sarà un gruppo semplice.
Ora questo risultato non l'ho trovato in giro e mi sembra molto strano, quindi volevo sapere è corretta come deduzione, oppure c'è un errore? Se ho fatto qualche errore, dove ho sbagliato?
Per favore, se non vi reca disturbo, potreste togliermi questo dubbio.

[mklplo751]

Allora, facendo qualche ricerca ho visto che il gruppo $A_5$ è un gruppo semplice di ordine 60, e quindi la mia conclusione è errata, però ancora non capisco il perché (e poi non capisco perché se aggiungo la condizione che il gruppo semplice sia abeliano, allora è corretta la deduzione).

[otta96]

"mklplo":si dimostra che nel se un gruppo ha ordine $pq$ con $p
Ma no, non è vero! Che c'entra il teorema di Lagrange?!?

[gugo82]

"mklplo":L'esercizio chiedeva di dimostrare che se un gruppo è di ordine $pq$ con $p Per dimostrarlo ho usato quest'altro risultato (preso da un esercizio): "Sia $p$ il più piccolo primo che divide l'ordine di un gruppo finito. Allora un sottogruppo di indice $p$ è normale".
Dal risultato si dimostra che nel se un gruppo ha ordine $pq$ con $p La cosa strana per me è stata questa:
Prendiamo un gruppo $G$ di ordine $m=p_0^(a_0).....p_n^(a_n)$ siano $p_0<..... < p_n$ primi e siano $a_0,...,a_n$ dei numeri naturali. Per il risultato di prima esiste un sottogruppo normale di ordine $m/p_0$ [...]

Per quale risultato?
Perché?

[j18eos]

Un paio di chiarimenti sul teorema di Lagrange sui gruppi finiti:
[list=1]
[*:335x8h68]non ha senso enunziarlo per i gruppi infiniti;[/*:m:335x8h68]
[*:335x8h68]non è un teorema di esistenza ma un teorema di vincolo, cioè esso assume che esista un sottogruppo in un dato gruppo (finito);[/*:m:335x8h68]
[*:335x8h68]esistono dei teoremi inversi di Lagrange (Cauchy-Galois, Sylow ed altri), ma nessuno di essi è un'inversione totale;[/*:m:335x8h68]
[*:335x8h68]se consideri il gruppo (risolubile ma non nilpotente, ricordo bene?) \(\displaystyle\mathrm{Alt}4\) vedrai che questi ha ordine \(\displaystyle12\) ma non ha un sottogruppo di ordine \(\displaystyle6\).[/*:m:335x8h68][/list:o:335x8h68]

[mklplo751]

@otta96:il Teorema di Lagrange dice che i sottogruppi possono essere solo di ordine $1$, $p$, $q$ e $pq$ se $p$ e $q$ sono primi (non intendevo che il teorema assicurava l'esistenza del gruppo, però il primo enunciato mi dice che c'è un sottogruppo normale di indice $q$ ora se non sbaglio, per il teorema di Lagrange, se $q$ è l'indice del sottogruppo e $pq$ è l'ordine del gruppo allora il gruppo ha ordine $p$)
@gugo82: il risultato è questo: "Sia $p$ il più piccolo primo che divide l'ordine di un gruppo finito. Allora un sottogruppo di indice $p$ è normale".Ora dato che l'indice del gruppo varrà $p_0$, allora per il teorema di Lagrange l'ordine del gruppo è $m/p_0$.
@j18eos:grazie, tuttavia io non uso il teorema di Lagrange per l'esistenza, ma per trovare l'ordine del sottogruppo a partire dal suo indice e dall'ordine del gruppo.
Scusate se non mi ero spiegato bene, e grazie a tutti per aver speso un po' di tempo per rispondere. Ora che credo di essermi spiegato meglio, se non vi reca disturbo, potreste spiegarmi dove sbaglio?

[Studente Anonimo]

"mklplo":dove sbaglio?

Qui:

"mklplo":esiste un sottogruppo normale di ordine $m/p_0$

Nessuno ti garantisce che esista un sottogruppo di ordine $m/p_0$. Se esiste è normale, ma questo è un altro discorso.

[mklplo751]

Giusto, che stupido che sono, non mi ero accorto che l'enunciato dice che " un sottogruppo di indice $p$ è normale" e non "esiste un sottogruppo normale di indice $p$".
Grazie per aver risposto.
Ma allora, anche la dimsotrazione di prima è incompleta, in quanto devo dimostrare l'esistenza di un sottogruppo di indice $q$. Se non ti reca disturbo, potresti darmi qualche consiglio?

[mklplo751]

Dato che nel primo caso sono soddisfatte le ipotesi del 1° Teorema di Sylow, posso concludere che allora esiste il sottogruppo, che dunque è normale e che allora il gruppo non è semplice?
Mentre nel caso che ho proposto io, non è applicabile il teorema di Sylow, infatti per esserlo avrei dovuto avere $m=p_0^n$ ($n$ naturale) giusto?
Una curiosità, perché la mia affermazione inziale che è falsa nei gruppi in generale diventa vera nel caso in cui il gruppo sia abeliano ?
C'è forse qualche teorema che mi assicura l'esistenza dei sottogruppi?

[j18eos]

"mklplo":[...]Una curiosità, perché la mia affermazione inziale che è falsa nei gruppi in generale diventa vera nel caso in cui il gruppo sia abeliano? C'è forse qualche teorema che mi assicura l'esistenza dei sottogruppi?

Se non sbaglio, in questo caso si utilizza il teorema di Cauchy-Galois che ho già citato prima.

[mklplo751]

Grazie per aver risposto, ma il teorema di Cauchy, non è una versione meno generale del teorema di Sylow?
Non capisco in che modo possa rendere vera questa affermazione:"un gruppo abeliano è semplice solo sè è di ordine primo".
Scusami se non capisco ma per me la teoria dei gruppi sta risultando davvero difficile.

[Studente Anonimo]

Se $G$ ha ordine $m=pq$ con $p$ e $q$ primi, $p$ minore di $q$, allora esiste un sottogruppo di ordine $m/p$ perché in questo caso $m/p=q$ quindi basta usare il teorema di Sylow.

Se il gruppo G è abeliano tutti i sottogruppi sono normali quindi se prendi un elemento di ordine primo il sottogruppo H generato da tale elemento è normale quindi se G è semplice allora H=G.

In un gruppo abeliano finito esistono sottogruppi di ordine $d$ per ogni divisore $d$ dell'ordine di $G$. Per vederlo probabilmente esistono modi elementari, ma la cosa più facile è usare il teorema di struttura dei gruppi abeliani finiti.

[mklplo751]

Grazie, finalmente penso di aver capito.