Unione di ideali

[ludovica.sarandrea]

Buongiorno,
ho questo esercizio.
Sia R un anello commutativo e siano I e J suoi ideali. Dimostrare che $I∪J$ e' un'ideale se e solo se $I⊂J$ o $J⊂I$
Io ho fatto cosi:
(⇒) $I∪J$ e' un ideale quindi preso un $a∈I∪J$ so che $ka∈I∪J$ $∀k∈R$.
se $a∈I∪J$ vuol dire che $a∈I$ o $a∈J$ ma essendo sia I che J ideali, ogni elemento di $I∪J∈J$ o a $I$ e' vero???

per il viceversa ho supposto che $I⊂J$ quindi devo dimostrare che $I∪J$ e' un'ideale. Prendo $a∈I∪J$ e devo dimostrare che $ka∈I∪J$ $∀k∈R$. Il fatto che $a∈I∪J$ vuol dire che $a∈I$ o $a∈J$ ma dato che $I⊂J$ ho che $a∈J$. a questo punto so che $J$ e' un'ideale quindi $ka∈J$ e a maggior ragione sara' nell'unione.

diciamo che sono piu' convinta della seconda parte che della prima. potreste dirmi se e' corretto e se no cosa ho sbagliato??

[Stickelberger]

e' vero???

Non ha molto senso. Meglio procedere per assurdo:
se $I$ non e' contenuto in $J$ esiste un elemento $a\in I\\J$.
Similmente, se $J$ non e' contenuto in $I$ esiste un elemento $b\in J\\I$.
Adesso consideri $a+b\in I\cup J$.

per il viceversa$\ldots$

Il viceversa e' banale. Se per esempio $I\subset J$, allora $I\cup J =J$.