Unione contabile di insiemi finiti
Premetto che il termine "contabile" l'ho inteso come "finito o al più infinito numerabile"... Bene, leggendo i passaggi di una dimostrazione non sono riuscito a capire una frase: "l'unione contabile di insiemi finiti, che sappiamo essere contabile"...
Da come ho inteso io la parola "contabile" non mi torna: un intervallo finito di $RR$ (ad esempio $(0,1)$) è finito ma non è contabile, non vedo come unendo intervalli di questo tipo si possa ottenere un insieme contabile... dov'è la falla?
O forse $(0,1)$ non è finito?...
Da come ho inteso io la parola "contabile" non mi torna: un intervallo finito di $RR$ (ad esempio $(0,1)$) è finito ma non è contabile, non vedo come unendo intervalli di questo tipo si possa ottenere un insieme contabile... dov'è la falla?
O forse $(0,1)$ non è finito?...
Risposte
L'intervallo $(0,1)$ è ben lungi dall'essere finito, ha la stessa cardinalità di $\RR$, e quindi la potenza del continuo.
Quello che si dimostra è che l'unione numerabile di insiemi finiti o al più numerabili, è ancora al più numerabile.
Quello che si dimostra è che l'unione numerabile di insiemi finiti o al più numerabili, è ancora al più numerabile.
Avevo fatto confusione con "limitato"? Era quello il termine esatto?
Forse faccio un po di confusione ma l'intervallo (0,1) non ha misura 1-dimensionale pari a 1?
E quindi l'unione con un altro insieme la cui misura 1-dimensionale è finita ha ancora misura 1-dimensionale finita?
E quindi l'unione con un altro insieme la cui misura 1-dimensionale è finita ha ancora misura 1-dimensionale finita?
Sì, l'intervallo $(0,1)$ è limitato, non finito.
Ma qui la misura c'entra ben poco...
"Luca.Lussardi":
Quello che si dimostra è che l'unione numerabile di insiemi finiti o al più numerabili, è ancora al più numerabile.
Sì, ricordo di aver letto in un libro che sommando due infiniti numerabili si ottiene ancora un infinito numerabile... lo stesso se si moltiplica un infinito numerabile per una costante intera e perfino se si fa il prodotto cartesiano tra due infiniti numerabili; l'unico modo per aumentare l'ordine dell'infinito è elevare $2$ (o un numero maggiore) a un infinito numerabile. Si ottiene così la potenza del continuo, che Cantor ipotizzò essere anche il più piccolo degli infiniti non numerabili (ma se non sbaglio l'ipotesi del continuo è stata dimostrata essere indecidibile)
Non sbagli, è dimostrato che l'ipotesi del continuo è indecidibile.
"Luca.Lussardi":
Ma qui la misura c'entra ben poco...
Ma insieme numerabile non vuol dire che ha misura finita?
insieme numerabile vuol dire che può essere messo in corrispondenza con $NN$
come ha giustamente detto Luca poc'anzi, l'intervallo $(0,1)$ ha misura $1$ ma contiene un numero di punti pari a $RR$, ovvero un numero infinitamente più grande di tutti i numeri naturali
come ha giustamente detto Luca poc'anzi, l'intervallo $(0,1)$ ha misura $1$ ma contiene un numero di punti pari a $RR$, ovvero un numero infinitamente più grande di tutti i numeri naturali
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