Unicità rapporto tra numeri primi
Se $a,b,c,d$ sono numeri primi diversi tra loro l'uguaglianza: $frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ non è mai verificata.
Esiste un modo semplice per verificare questa affermazione?
Esiste un modo semplice per verificare questa affermazione?
Risposte
Si tratta di numeri positivi, dunque posso moltiplicare il tutto per $d$ (ad esempio) senza avere problemi di singolarità.
Ottengo
$\frac{ad}{b}=c$
che è impossibile perché per qualsiasi coppia $p_i , p_j$ di primi, se $p_i \ne p_j$ allora $(p_i, p_j)=1$ dunque il primo membro di quella uguaglianza non può essere intero...
Ottengo
$\frac{ad}{b}=c$
che è impossibile perché per qualsiasi coppia $p_i , p_j$ di primi, se $p_i \ne p_j$ allora $(p_i, p_j)=1$ dunque il primo membro di quella uguaglianza non può essere intero...
Grazie : )
- domanda banale cosa intendi con la notazione $(p_i,p_j)=1$?
- potrei anche dire che per il Teorema fondamentale dell'aritmetica $\frac{ad}{b} = c$ non può esistere se $a,b,c,d,$ sono primi? Difatti se $m = ad$ e $b$ è primo, data l'unicità della fattorizzazione, $m$ non può essere divisibile per $b$.
- domanda banale cosa intendi con la notazione $(p_i,p_j)=1$?
- potrei anche dire che per il Teorema fondamentale dell'aritmetica $\frac{ad}{b} = c$ non può esistere se $a,b,c,d,$ sono primi? Difatti se $m = ad$ e $b$ è primo, data l'unicità della fattorizzazione, $m$ non può essere divisibile per $b$.
"ReggaetonDj":
domanda banale cosa intendi con la notazione $(p_i,p_j)=1$?
Non sei il primo che me lo domanda, da cui suppongo che questa notazione che ho incontrato in molti libri non è poi così standard.
In altre parole $\text{MCD}(p_i , p_j)=1$.
La tua seconda frase non l'ho capita granché (oggi non mi riporta niente
), comunque puoi dire che se $ad$ è divisibile per $b$ o $b|a$ oppure $b|d$ per un teorema di cui ora non ricordo il nome, ma sono entrambe false proprio perché se $a$ e $d$ sono primi diversi da $b$ non sono affatto multipli di $b$...
"Zero87":
comunque puoi dire che se $ad$ è divisibile per $b$ o $b|a$ oppure $b|d$ per un teorema di cui ora non ricordo il nome...
Credo che tu ti riferisca al lemma di Euclide.
Comunque bastava dire che $ad$ e $b$ sono coprimi poiché essi non hanno nessun divisore comune (eccetto 1 e -1).
Ah ok, quindi M.C.D..Nella tua dimostrazione no ho capito come relazioni il fatto che due numeri primi hanno come MCD solo il numero 1, alla relazione $\frac{ad}{b}=c$
Provo a spiegare meglio la mia seconda frase. Il Teorema fondamentale dell'aritmetica dice che ogni numero Naturale può essere espresso come prodotto di numeri primi, e che questa fattorizzazione è unica. Ok, pensando a questo la relazione $\frac{ad}{b}=c$ non può esistere se $a,b,c,d$ sono primi (che è quello che dicevi tu) : )
Peraltro credo che basterebbe che $c$ fosse intero, anche non primo, per rendere impossibile la relazione
Provo a spiegare meglio la mia seconda frase. Il Teorema fondamentale dell'aritmetica dice che ogni numero Naturale può essere espresso come prodotto di numeri primi, e che questa fattorizzazione è unica. Ok, pensando a questo la relazione $\frac{ad}{b}=c$ non può esistere se $a,b,c,d$ sono primi (che è quello che dicevi tu) : )
Peraltro credo che basterebbe che $c$ fosse intero, anche non primo, per rendere impossibile la relazione
"ReggaetonDj":
Ah ok, quindi M.C.D..Nella tua dimostrazione no ho capito come relazioni il fatto che due numeri primi hanno come MCD solo il numero 1, alla relazione $\frac{ad}{b}=c
Quella del MCD tra primi diversi uguale a 1 è una relazione molto più forte di quello che mi interessa davvero (in questo problema) e mi serve come ulteriore garanzia nel dire che $ad$ non è divisibile per $b$.
Se il MCD non fosse 1 potrebbe (in genere no
, in questo caso meno che mai dato che si parla di numeri primi) essere che $ad$ sia multiplo di $b$ e che quindi il primo membro sia intero.In realtà, infatti, con il mio ragionamento iniziale si vede che $(ad)/c$ non è intero ed è anche di più di quello che volevamo dimostrare... ma comunque va bene.
Ok quindi con $(p_i, p_j) = 1$ intendevi dire che $ad$ e $b$ erano primi tra loro?
Perfetto, credo di aver capito! Grazie mille a tutti!
Perfetto, credo di aver capito! Grazie mille a tutti!
"ReggaetonDj":
Ok quindi con $(p_i, p_j) = 1$ intendevi dire che $ad$ e $b$ erano primi tra loro?
Anche se, come detto, spesso è "sovrabbondante" la proprietà che il MCD tra due primi differenti vale 1: ma comunque è semplice da ricordare e il suo effetto lo fa comunque.
Grazie 
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