Unicità del prodotto(categorie)

[anto_zoolander]

Ciao!

Ho questo esercizio

sia \( \mathrm{C} \) una categoria e \( \mathrm{a,b \in Obj_C } \) due oggetti; mostrare che se il prodotto esiste allora è unico a meno di isomorfismi

se $atimesb$ e $a*b$ sono entrambi prodotti con proiezioni $pi_a:atimesb->a$(risp. $b$) e $p_a:a*b->a$(risp. $b$).

visto che $pi_a$ e $pi_b$ sono morfismi che vanno rispettivamente in $a$ e in $b$ ed essendo $a*b$ un prodotto esiste un solo morfismo $<>:atimesb->a*b$ per cui $p_acirc<>=pi_a$ e $p_bcirc<>=pi_b$

invertendo i ruoli dei morfismi si ha che $<>:a*b->atimesb$ è l'unico morfismo che rispetta l'analogia.

in questo modo $<> circ <> in M o r(a times b, a times b )$ e $<>circ<> in M o r(a*b,a*b)$

come posso concludere che le due composizioni sono $i d_(atimesb)$ e $i d_(a*b)$?

io direi che date le uguaglianze sono gli unici morfismi che rispettano $p_a circ [<>circ<>]=p_a$ ed essendo $p_a circ i d_(a*b)=p_a$ deve valere l'uguaglianza per l'unicità

[caulacau]

Sì, è così.

[caulacau]

Più in generale, dato un diagramma \(X : J \to \mathcal C \), il suo cono limite \(p_j : \varprojlim_J X_i \to X_j\) è una famiglia di mappe congiuntamente monomorfa, ossia se \(p_j\circ f = p_j \circ g\) per ogni $j\in J$, allora $f = g$.

Dualmente si ha un risultato per i coconi colimite: le mappe \(i_j : X_j \to \varinjlim_J X_i\) sono congiuntamente epimorfe, ossia se \(f \circ i_j = g \circ i_j\) per ogni $j\in J$ allora $f=g$.