{Undergraduate Algebra di Lang} Thread
Buongiorno, apro questo post per appunto postare tutte le domande che mi vengono sul testo di Lang, Undergraduate algebra e così per raccogliere anche le domande di chi altro avesse dubbi riguardo a questo testo.
Veniamo alla domanda.
1) Nel primo capitolo, paragrafo 2 si dimostra il principio di induzione, I forma.
NB n-->numero intero positivo
Nello specifico a un certo punto nella dimostrazione si dice che:
Poniamo che A(n), tale che:
•A(1) sia vero
•A(n+1) sia vero
Quindi A è vera per ogni n maggiore o uguale a 1.
Per provarlo si immagini che A(n) sia falsa cioè:
•A(1) è falso
•A(n+1) è falso
Se fosse falsa allora l'insieme S delle soluzioni sarebbe vuoto.
Se quindi S non fosse vuoto, A(n) sarebbe vera.
Cerchiamo di dimostrare che non è vuoto:
$n_0$, il minimo n di S deve esistere per il well-ordering (in italiano?)
Se A(n) 1 fosse falsa questo dovrebbe essere diverso da 1, quindi $n_0$ è maggiore di 1.
A questo punto il testo dice:
"Dal momento che $n_0$ è il minimo valore allora $n_0-1$ non è in S e quindi A($n_0-1$) è vera.
Non capisco questo punto. Come si può dire che A($n_0-1$) è vera per il fatto che $n_0-1$ non è in S?
Grazie in anticipo, perdonatemi se è stupido ma ci ho pensato molto e ancora mi sfugge qualcosa.
L'esempio successivo è chiarissimo ma questo punto mi aggroviglia un po'
Veniamo alla domanda.
1) Nel primo capitolo, paragrafo 2 si dimostra il principio di induzione, I forma.
NB n-->numero intero positivo
Nello specifico a un certo punto nella dimostrazione si dice che:
Poniamo che A(n), tale che:
•A(1) sia vero
•A(n+1) sia vero
Quindi A è vera per ogni n maggiore o uguale a 1.
Per provarlo si immagini che A(n) sia falsa cioè:
•A(1) è falso
•A(n+1) è falso
Se fosse falsa allora l'insieme S delle soluzioni sarebbe vuoto.
Se quindi S non fosse vuoto, A(n) sarebbe vera.
Cerchiamo di dimostrare che non è vuoto:
$n_0$, il minimo n di S deve esistere per il well-ordering (in italiano?)
Se A(n) 1 fosse falsa questo dovrebbe essere diverso da 1, quindi $n_0$ è maggiore di 1.
A questo punto il testo dice:
"Dal momento che $n_0$ è il minimo valore allora $n_0-1$ non è in S e quindi A($n_0-1$) è vera.
Non capisco questo punto. Come si può dire che A($n_0-1$) è vera per il fatto che $n_0-1$ non è in S?
Grazie in anticipo, perdonatemi se è stupido ma ci ho pensato molto e ancora mi sfugge qualcosa.
L'esempio successivo è chiarissimo ma questo punto mi aggroviglia un po'
Risposte
"Дэвид":
Poniamo che A(n), tale che:
•A(1) sia vero
•A(n+1) sia vero
Quindi A è vera per ogni n maggiore o uguale a 1.
In questa forma, l'asserto è falso. Il principio d'induzione dice che: se \(A(1)\) è vera e il fatto che \(A(n)\) sia vera implica che lo sia anche \(A(n+1)\) allora \(A\) è vera per ogni naturale maggiore di \(1\).
Comunque, hai frainteso l'inizio della dimostrazione, che va più o meno così:
Sia \(S\) l'insieme dei controesempi (ovvero l'insieme dei numeri naturali per cui \(A\) è falsa). Se \(S\) è vuoto non esistono numeri che falsificano \(A\), dunque \(A\) è vera per tutti i naturali. Sia \(S\) non vuoto, per il buon ordinamento dei naturali esso ammette un elemento minimo \(n_0\)[nota]il perché ciò sia vero ti è chiaro?[/nota], ovvero tutti gli altri controesempi (i.e. tutti gli altri elementi di \(S\)) sono maggiori di \(n_0\). Per ipotesi (\(A(1)\) è vera) \(n_0 \ne 1\). Si ha che \(n_0 - 1 < n_0\), ma \(n_0\) è il minimo di \(S\), ergo \(n_0 - 1\) non sta in \(S\), ovvero non è un controesempio o equivalentemente \(A(n_0 -1 )\) è vera. Ma allora la nostra seconda ipotesi implica che sia vera anche \(A(n_0)\) che abbiamo assunto essere il minimo di \(S\). Ovvero, supporre che \(S\) sia non vuoto conduce ad un assurdo.
Ora ti torna?
Ho compreso. È assurdo che S sia non vuoto assumendo che A sia falsa perchè si arriva alla conclusione che è vera.
Ed inoltre, il principio di induzione non da due punti ma dice che se A(1) è vera, allora lo è anche A(n+1)
Una domanda un po' ridicola però sono sicuro non creerà più problemi in futuro questo concetto. Bisogna un po' entrare nell'ottica di queste dimostrazioni
Grazie.
Ed inoltre, il principio di induzione non da due punti ma dice che se A(1) è vera, allora lo è anche A(n+1)
Una domanda un po' ridicola però sono sicuro non creerà più problemi in futuro questo concetto. Bisogna un po' entrare nell'ottica di queste dimostrazioni
Grazie.
"Дэвид":
Ho compreso. È assurdo che S sia non vuoto assumendo che A sia falsa perchè si arriva alla conclusione che è vera.
Assumere che \(S\) sia non vuoto equivale ad assumere che \(A\) sia falsa per un qualche numero naturale, e questo porta ad un assurdo in quanto per il più piccolo numero che sta in \(S\), \(A\) dovrebbe essere sia falsa (perché sta in \(S\)) sia vera (perché è il successore di un numero per cui è vera).
"Дэвид":
Ed inoltre, il principio di induzione non da due punti ma dice che se A(1) è vera, allora lo è anche A(n+1)
Non esattamente. Provo a darti un'idea euristica di come va il tutto. Vuoi dimostrare che una cosa vale per tutti i naturali. Mettiamo che sai che questa cosa valga per \(1\). Ingegnandoti un po', riesci a dimostrare che se vale per un certo naturale \(n\) (\(n\) è un numero generico, e tu stai assumendo per ipotesi che per tale \(n\) la cosa che vuoi dimostrare è vera) allora vale anche per il numero successivo. Questo è il punto più importante di tutti. Ipotizzi che valga per \(n\), e senza ulteriori ipotesi aggiuntive dimostri che vale per \(n+1\). Questa è l'unica parte veramente dimostrativa (almeno per le dimostrazioni per induzione più semplici) e viene talvolta detta "passo induttivo". Allora tu sai solo che se è vera per un certo numero, lo è automaticamente anche per quello che viene dopo. Ma sai anche che vale per \(1\), quindi se vale per uno, varrà per il successore di \(1\), cioè \(2\). Di conseguenza, ora sai che vale per \(2\), quindi deve valere anche per \(3\), ecc. Questa è l'idea intuitiva, ovviamente l'impossibilità di andare avanti all'infinito non la rende una dimostrazione rigorosa, la dimostrazione rigorosa è quella che hai studiato.
Okay. Quindi provo a riesprimere: il principio di induzione ci dice che se si riesce a dimostrare una asserzione su 1, allora questa è vera anche per n+1
No. Il principio d'induzione dice che se si riesce a dimostrare un'asserzione su \(1\) e si riesce a dimostrare che se vale per un numero, allora vale anche per il suo successore, in tal caso (se entrambe le condizioni sono soddisfatte) l'asserzione è vera per tutti i numeri naturali.
Okay. si può dire al posto di "A(n) è vera" che $ninA$?
Edit: credo di aver finalmente capito
Curioso come sia faticoso trovare nel web altre dimostrazioni di questo principio, ho dovuto scomodare [ot]http://www.mat.uniroma2.it/~gealbis/EALinduzione.pdf[/ot]
Edit: credo di aver finalmente capito
Curioso come sia faticoso trovare nel web altre dimostrazioni di questo principio, ho dovuto scomodare [ot]http://www.mat.uniroma2.it/~gealbis/EALinduzione.pdf[/ot]
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