Una versione rivisitata dell'ipotesi del continuo generalizzata

[otta96]

Mi sono posto un problema che è collegato in un certo senso all'ipotesi del continuo generalizzata (da cui il titolo) e il problema è se esistono (o comunque di trovarne il più possibile, se non proprio darne una caratterizzazione) dei numeri cardinali che possiamo dimostrare che non è possibile ottenerlo come $2^\aleph$ per un certo numero cardinale $\aleph$. Spero che il problema sia chiaro.
Ora dico alcune cose che mi sono venute in mente: ragionando sui cardinali "piccoli", si ha che $\aleph_n$ non può essere soluzione del problema $AAn\inNN,n>=1$, perché la proposizione $\aleph_n=2^(\aleph_0)$ è indecidibile, mentre ovviamente $\aleph_0$ è una soluzione, ciò che mi interessava erano ALTRE eventuali soluzioni.
Un cardinale che fa ben sperare è $\aleph_\omega$ perché $\aleph_\omega!=2^(\aleph_0)$, rimarrebbe da capire se è vero che $AAn\inNN,n>=1,\aleph_\omega!=2^(\aleph_n)$.
Poi mi chiedevo se un cardinale del genere dovesse essere per forza un cardinale limite, potrebbe avere qualcosa a che fare con il fatto che quelli che non sono cardinali limite sono regolari...

[killing_buddha]

Non è esattamente quello che vuoi, ma googla "Easton theorem"

[otta96]

Grazie, dalla prima disuguaglianza che si trova qui: https://en.wikipedia.org/wiki/Easton%27s_theorem (che vale per ogni cardinale regolare se ho capito bene), direi che si può concludere che $\aleph_\omega$ è soluzione del problema, infatti bisogna verificare se $2^(\aleph_n)!=\aleph_\omega$, dalla disuguaglianza $\aleph_n N.B. Ogni volta che compare, $n$ va inteso come un numero intero positivo.