Una funzione per cui non esiste una formula
Non so se mettere qui in Algebra o in Analisi questo post, mi sembra meglio qui, ma se no spostate.
A proposito del Teorema delle funzioni implicite, e delle funzioni definite implicitamente, ho un esempio per cui il teorema delle funzioni implicite garantisce l'esistenza di una funzione definita implicitamente da una equazione, del tipo $F(x,y)=0$, ma non esiste una formula per la funzione.
L'equazione è:
$$y^3+16 y-32x^3+32x=0$$
Il locus dell'equazione definisce una funzione, e il libro da cui l'ho presa mette pure il grafico, ma non esiste una formula per questa funzione.
Questo il grafico:
Come si fa a capire che non esiste una formula? Come si dimostra?
A proposito del Teorema delle funzioni implicite, e delle funzioni definite implicitamente, ho un esempio per cui il teorema delle funzioni implicite garantisce l'esistenza di una funzione definita implicitamente da una equazione, del tipo $F(x,y)=0$, ma non esiste una formula per la funzione.
L'equazione è:
$$y^3+16 y-32x^3+32x=0$$
Il locus dell'equazione definisce una funzione, e il libro da cui l'ho presa mette pure il grafico, ma non esiste una formula per questa funzione.
Questo il grafico:
Come si fa a capire che non esiste una formula? Come si dimostra?
Risposte
Ciao gabriella127
Magari la mia non è una gran risposta, ma l'equazione si riferisce in realtà a $y^5+16y -32 x^3 +32x =0$, e si vede dal grafico che non è possibile fare x=x(y), ma solo y=y(x). Peccato che per scrivere la formula bisognerebbe risolvere analiticamente un'equazione di 5°grado
Magari la mia non è una gran risposta, ma l'equazione si riferisce in realtà a $y^5+16y -32 x^3 +32x =0$, e si vede dal grafico che non è possibile fare x=x(y), ma solo y=y(x). Peccato che per scrivere la formula bisognerebbe risolvere analiticamente un'equazione di 5°grado
Il problema è definire il concetto di “formula”. Così posta, la domanda non ha molto senso. Che cos’è una “formula per una funzione” per te?
Quello che intendono comunemente tutti, non c'è una espressione analitica per esprimere quella funzione, con simboli tipo $x^3, +, - $ radici etc. , scrivendo $y$ da una parte e il resto con $x$ dall'altra.
Il problema è che il libro dice 'non esiste', e vorrei capire perché lo dice, dimostrare che una cosa non esiste non mi pare banale.
La cosa mi è sembrato un esempio interessante riguardo il il Teorema delle funzioni implicite, perché una cosa è dire 'è troppo difficile, impossibile praticamente' esplicitare la funzione, una cosa è dire non esiste un modo per esplicitare la funzione.
Cioè, una cosa è dire 'bisognerebbe risolvere una equazione di 5° grado, ma non lo sappiamo fare', una cosa è dire che non esiste un'espressione, anche se fossimo il Padreterno dei matematici la soluzione non la potremmo mai scrivere.
@ingres grazie della risposta Sì certo, è $y$ in funzione di $x$, non viceversa, ma il punto è: perché dice che non esiste una soluzione analitica per esprimere la funzione? Come si dimostra che non esiste?
Dimostare la non esistenza di una cosa mi pare quasi metafisicamente inquietante (se non in forma di contraddizione logica), però esistono dimostrazioni di non esistenza di qualcosa, come ad esempio dell'integrale in forma chiusa di certe funzioni.
Il problema è che il libro dice 'non esiste', e vorrei capire perché lo dice, dimostrare che una cosa non esiste non mi pare banale.
La cosa mi è sembrato un esempio interessante riguardo il il Teorema delle funzioni implicite, perché una cosa è dire 'è troppo difficile, impossibile praticamente' esplicitare la funzione, una cosa è dire non esiste un modo per esplicitare la funzione.
Cioè, una cosa è dire 'bisognerebbe risolvere una equazione di 5° grado, ma non lo sappiamo fare', una cosa è dire che non esiste un'espressione, anche se fossimo il Padreterno dei matematici la soluzione non la potremmo mai scrivere.
@ingres grazie della risposta Sì certo, è $y$ in funzione di $x$, non viceversa, ma il punto è: perché dice che non esiste una soluzione analitica per esprimere la funzione? Come si dimostra che non esiste?
Dimostare la non esistenza di una cosa mi pare quasi metafisicamente inquietante (se non in forma di contraddizione logica), però esistono dimostrazioni di non esistenza di qualcosa, come ad esempio dell'integrale in forma chiusa di certe funzioni.
Vi copio qui sotto la pagina del libro a cui mi riferisco, così si capisce il contesto.
Comunque posto y=2z l'equazione diventa quella generalizzata in forma semplificata:
$z^5+z=x^3-x$
che ha una formula risolutiva, sia pure in termini di funzioni ellittiche
https://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_di_quinto_grado
per cui quello che probabilmente il testo vuole dire è che non esiste una formula analitica in termini di funzioni elementari.
In pratica vuole rimarcare il concetto che non puoi sempre trovare una soluzione analitica e risolvere il problema, ma devi lavorarci tenendoti l'equazione così com'è.
$z^5+z=x^3-x$
che ha una formula risolutiva, sia pure in termini di funzioni ellittiche
https://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_di_quinto_grado
per cui quello che probabilmente il testo vuole dire è che non esiste una formula analitica in termini di funzioni elementari.
In pratica vuole rimarcare il concetto che non puoi sempre trovare una soluzione analitica e risolvere il problema, ma devi lavorarci tenendoti l'equazione così com'è.
Grazie, cercherò di capirci qualcosa su Wikipedia.
Il punto è quello, bisogna tenersi la funzione scritta implicitamente, e si può eventualmente usare il teorema delle funzioni implicite (poi alla fine se non ci non volesse niente ad esplicitare le funzioni il teorema non servirebbe a molto).
Ma siamo sempre lì, come si fa a dire che non esiste una soluzione mediante funzioni elementari?
L'esempio che mi viene in mente è sempre quello dell' integrale non esprimibile in funzioni elementari, ma lì c'è una dimostrazione, non l'ho mai letta e non so se ci capisco, ma c'è.
Oppure forse l'autore intende solo dire 'al momento non conosciamo un formula', ma in linea di principio potrebbe esistere.
Il punto è quello, bisogna tenersi la funzione scritta implicitamente, e si può eventualmente usare il teorema delle funzioni implicite (poi alla fine se non ci non volesse niente ad esplicitare le funzioni il teorema non servirebbe a molto).
Ma siamo sempre lì, come si fa a dire che non esiste una soluzione mediante funzioni elementari?
L'esempio che mi viene in mente è sempre quello dell' integrale non esprimibile in funzioni elementari, ma lì c'è una dimostrazione, non l'ho mai letta e non so se ci capisco, ma c'è.
Oppure forse l'autore intende solo dire 'al momento non conosciamo un formula', ma in linea di principio potrebbe esistere.
"gabriella127":
Cioè, una cosa è dire 'bisognerebbe risolvere una equazione di 5° grado, ma non lo sappiamo fare'
Non è che lo sappiamo fare, è che sappiamo che è impossibile farlo, almeno secondo certe restrizioni autoimposte.
Più precisamente, sappiamo che non esiste una formula generale che utilizzi al massimo i radicali per l'equazione di 5° grado (e quindi anche quelli maggiori), e questo lo si sà grazie alla teoria di Galois, più in particolare sappiamo capire anche per ogni singola equazione di quinto grado se sia risolubile o meno, col criterio se il gruppo di Galois del campo di spezzamento dell'equazione (il campo più piccolo che comprende i razionali e tutte le soluzioni complesse dell'equazione) è risolubile. È a questo tipo di risultati e di tecniche che si riconducono queste cose, anche la non esistenza di formule esplicite per una primitiva di certe funzioni (che nemmeno io ho mai letto) che si basa su una variante differenziale della teoria di Galois, in questo caso quell'equazione di 5° grado rientra a quanto pare in quelle non risolubili per radicali, poi come diceva giustamente hydro, dipende cosa intendi per formula, per esempio so che alcune soluzioni di equazioni non risolubili per radicali sono esprimibili ricorrendo a funzioni trigonometriche, ma non ho mai approfondito tanto quindi non so meglio di così.
Grazie mille otta, illuminante, era questo che volevo sapere, se c'era un modo in cui era stato dimostrato che certe soluzioni non esistono.
Perché quella affermazione del libro mi sembrava un po' perentoria, se nulla del genere esisteva.
E non è che quello è un libro per ragazzini.
Perché quella affermazione del libro mi sembrava un po' perentoria, se nulla del genere esisteva.
E non è che quello è un libro per ragazzini.
È un modo estremamente naif di scrivere, e anche pedagogicamente sbagliato. Tanto più che quella funzione è analitica in un intorno dei punti lisci, quindi una “formula” esiste eccome, è la sua espansione di Taylor. Che poi non esista un’espressione che usa solamente le quattro operazioni fondamentali e le funzioni polinomiali, trigonometriche, esponenziali e logaritmiche per esprimere quella roba localmente, è un altro paio di maniche ed è tutto da dimostrare (sempre che sia vero, non ne ho idea). Forse la teoria di Galois differenziale può dire delle cose in proposito, ma chissà.
Mah, sinceramente non so. E' una cosa scritta nel contesto teorema delle funzioni implicite, per introdurlo, e mi è sembrata tutt'altro che naïve come osservazione: dice come il teorema può servire a descrivere analiticamente una funzione quando la forma esplicita non tanto è difficile o quasi impossibile da trovare praticamente, ma proprio non esiste. E' questo che mi aveva colpito dell'esempio.
Se pensi alla figura della funzione, che immagino l'autore abbia fatto con approssimazioni numeriche, la funzione della figura è descritta dalla forma implicita, mentre una forma esplicita non possiamo averla. Almeno non nel senso di risolvere l'equazione di 5° grado.
Poi non ho capito l'espanzione in serie di Taylor di quale funzione, abbiamo una funzione definita implicitamente da una equazione tipo $F(x, y)=0$
E' un libro famoso, di un matematico noto (e non è un libro pedagogico per principianti) per cui ha senso pensare che parli sapendo quello che dice.
Se pensi alla figura della funzione, che immagino l'autore abbia fatto con approssimazioni numeriche, la funzione della figura è descritta dalla forma implicita, mentre una forma esplicita non possiamo averla. Almeno non nel senso di risolvere l'equazione di 5° grado.
Poi non ho capito l'espanzione in serie di Taylor di quale funzione, abbiamo una funzione definita implicitamente da una equazione tipo $F(x, y)=0$
E' un libro famoso, di un matematico noto (e non è un libro pedagogico per principianti) per cui ha senso pensare che parli sapendo quello che dice.
Stavo per scrivere le stesse cose che ha detto hydro... Il pedigree degli autori è raramente una maniera fedele di valutare la loro abilità di bilanciare il gergo specifico con una spiegazione intuitiva. Per esempio, nessuno dubita della competenza di Penrose, ma "The road to reality" è... oof.
Mi sembra invece un libro che sta cercando di spiegare in maniera semplice un fatto profondo, fallendo miserevolmente. Sono anche stupito tu abbia fatto questa domanda, io ho studiato queste cose al primo anno di fisica, nemmeno a quello di matematica.
Il fatto è: il teorema delle funzioni implicite ti dice a quali condizioni una espressione della forma \(F(x,y)=0\) si può esprimere come \(F(x,y(x))=0\) identicamente in tutti gli \(x\) di un opportuno intorno in cui lo jacobiano di F non si annulla / non è singolare; ma con un po' di pazienza ti dice anche in che modo esprimere \(y(x)\) in serie di Taylor usando proprio (le inverse del)lo Jacobiano di prima (che servono da coefficienti di una serie formale).
Poi, "la" risposta vera a cosa stia succedendo ce l'hai se ti metti a studiare un po' della teoria locale delle curve: per questo io ti consiglio ad esempio il capitolo dedicato in queste note di un corso (a livello di una laurea triennale!) di curve algebriche piane. (E' molto istruttivo anche per avere un punto di vista un po' più formale sulle cose che si imparano in analisi, perlomeno nel caso in cui le curve in studio -come la tua- siano razionali.)
"gabriella127":
Grazie mille otta, illuminante, era questo che volevo sapere, se c'era un modo in cui era stato dimostrato che certe soluzioni non esistono.
Perché quella affermazione del libro mi sembrava un po' perentoria, se nulla del genere esisteva.
E non è che quello è un libro per ragazzini.
Mi sembra invece un libro che sta cercando di spiegare in maniera semplice un fatto profondo, fallendo miserevolmente. Sono anche stupito tu abbia fatto questa domanda, io ho studiato queste cose al primo anno di fisica, nemmeno a quello di matematica.
Il fatto è: il teorema delle funzioni implicite ti dice a quali condizioni una espressione della forma \(F(x,y)=0\) si può esprimere come \(F(x,y(x))=0\) identicamente in tutti gli \(x\) di un opportuno intorno in cui lo jacobiano di F non si annulla / non è singolare; ma con un po' di pazienza ti dice anche in che modo esprimere \(y(x)\) in serie di Taylor usando proprio (le inverse del)lo Jacobiano di prima (che servono da coefficienti di una serie formale).
Poi, "la" risposta vera a cosa stia succedendo ce l'hai se ti metti a studiare un po' della teoria locale delle curve: per questo io ti consiglio ad esempio il capitolo dedicato in queste note di un corso (a livello di una laurea triennale!) di curve algebriche piane. (E' molto istruttivo anche per avere un punto di vista un po' più formale sulle cose che si imparano in analisi, perlomeno nel caso in cui le curve in studio -come la tua- siano razionali.)
PS: una cosa in cui quel corso era molto carente era la maniera brutale in cui ci costrinse a capire come diavolo si facevano gli esercizi a partire dalle definizioni Bourbakiste che dava. La raccolta dei temi d'esame, specie negli esercizi sugli sviluppi locali delle curve, fu molto d'aiuto in tal senso https://www.math.unipd.it/~maurizio/cap/CAP2012temi.pdf
"megas_archon":
Mi sembra invece un libro che sta cercando di spiegare in maniera semplice un fatto profondo, fallendo miserevolmente. Sono anche stupito tu abbia fatto questa domanda, io ho studiato queste cose al primo anno di fisica, nemmeno a quello di matematica.
Non hai capito la mia domanda, il teorema delle funzioni implicite l'ho studiato venti anni fa approfonditamente, corso di Analisi II al Dipartimento di matematica alla Sapienza, curve comprese (e credo che lo applicavo in economia quando tu stavi al'asilo
).Ho fatto una domanda di algebra, non sul teorema delle funzioni implicite in sé (se no mettevo il post in Analisi), se esiste un modo di dimostrare che non esiste una soluzione di quella equazione di 5° grado.
otta96 mi ha dato una risposta, e rispondeva al mio interrogativo su come si possano fare dimostrazioni di non esistenza (ricordavo quelle degli integrali non esprimibili in forma chiusa).
Quanto al libro, è un esempio fatto a pagina 1 dell'introduzione, e il libro non spiega affatto in modo semplice cose profonde fallendo. Se solo guardassi l'indice te ne accorgeresti, non è un libro per spiegare il teorema delle funzioni implicite a chi non lo conosce. Ma forse nel link che ho messo a Amazon si può leggere la quarta di copertina.
Quanto alla serie di Taylor, chiedevo a hydro che intendeva in quel caso, scriverla con le derivate ricavate in base al teorema delle funzioni implicite? Però a quel punto stiamo dicendo che usiamo il teorema, prima del teorema di quella funzione non sappiamo dire granché. E quindi torniamo a bomba, il teorema ci dà modo di conoscere funzioni di cui non conosciamo prima la forma esplicita.
"gabriella127":
Quanto alla serie di Taylor, chiedevo a hydro che intendeva in quel caso, scriverla con le derivate ricavate in base al teorema delle funzioni implicite? Però a quel punto stiamo dicendo che usiamo il teorema, prima del teorema di quella funzione non sappiamo dire granché. E quindi torniamo a bomba, il teorema ci dà modo di conoscere funzioni di cui non conosciamo prima la forma esplicita.
Questo è certo, stiamo usando il teorema della funzione implicita. Quello che intendevo dire è che usando il teorema della funzione implicita, si può trovare una "formula" esplicita per quella funzione, almeno localmente, ovvero la sua espansione di Taylor. Quindi dire che "non esiste una formula" è un modo naif di introdurre il concetto. Ed è pedagogicamente sbagliato, a mio modo di vedere ovviamente, perché insiste su un concetto, ovvero quello di "formula", che non ha alcuna definizione univoca in matematica. Non metto in dubbio che le intenzioni siano le migliori e che chi ha scritto il libro sia un ottimo matematico, ma come dice megas_archon, essere un ottimo matematico non condizione né necessaria né sufficiente per scrivere un ottimo libro.
A me non sembra sbagliato, è un esempio interessante, dà da pensare, e non è il solito esempio con la circonferenza. E poi non è un libro che deve fare pedagogia.
E comunque sì, il concetto di 'formula' è vago, infatti lo usa in modo storico, parla di Eulero e della sua definizione di funzione, che infatti è stata soppiantata.
Ma chiedersi se una equazione di 5° ha soluzione o meno mi pare abbia senso.
A quel punto che vuol dire soluzione ?
L'espansione di Taylor è una 'soluzione'?
Tra l'altro si parla di una cosa globale, la soluzione di una equazione di 5° grado.
Vabbe', per conoscere il libro (collana Modern Birkhäuser Classics) e visto che non ho niente da fare
vi metto l'indice, per capirci, che il libro non è il Manuale delle Giovani Marmotte .
E comunque sì, il concetto di 'formula' è vago, infatti lo usa in modo storico, parla di Eulero e della sua definizione di funzione, che infatti è stata soppiantata.
Ma chiedersi se una equazione di 5° ha soluzione o meno mi pare abbia senso.
A quel punto che vuol dire soluzione ?
L'espansione di Taylor è una 'soluzione'?
Tra l'altro si parla di una cosa globale, la soluzione di una equazione di 5° grado.
Vabbe', per conoscere il libro (collana Modern Birkhäuser Classics) e visto che non ho niente da fare
vi metto l'indice, per capirci, che il libro non è il Manuale delle Giovani Marmotte .
"gabriella127":Tu non sembri aver capito, per contro, la mia risposta, quindi... Di nuovo: lo studio locale delle curve, il problema della loro razionalità, e topiche affini, sono affrontate in maniera chiara, sussumendo i risultati dell'analisi in maniera strutturale, da [quasi ogni] corso rispettabile sulle curve algebriche piane. Il problema del giustificare la non esistenza/razionalizzabilità di una espressione polinomiale/analitica/a fiori per una data curva si può attaccare in diversi modi, a seconda del contesto che è più naturale usare, quindi senza entrare nello specifico, non è possibile risponderti, o capire come vuoi che ti si risponda. In questa situazione mi limitavo a osservare che il tuo è (anche) un problema di linguaggio, perché stai aderendo a delle definizioni inesistenti ("esprimere mediante una formula $a$ in termini di $b$" non significa nulla, e per traslazione non ha nemmeno significato asserire una ostruzione ad esprimere $a$ in termini di $b$). La matematica si fa con le definizioni, quindi ora stiamo parlando della psicologia dell'autore del libro che leggi. La trovo una perdita di tempo. (Tra parentesi, dato che sto editando un paio di typo: "non è possibile duplicare il cubo / trisecare un angolo" sono asserzioni divulgative, prive di senso per lo stesso motivo; questo perché se oltre a riga e compasso costruisci una qualche settrice, ecco che.)
Non hai capito la mia domanda, il teorema delle funzioni implicite l'ho studiato venti anni fa approfonditamente, corso di Analisi II al Dipartimento di matematica alla Sapienza, curve comprese (e credo che lo applicavo in economia quando tu stavi al'asilo
A quel punto che vuol dire soluzione ?A seconda del contesto, dipende appunto da cosa vuoi che una soluzione sia. Un'espansione in serie attorno a un punto è una soluzione, a volte; una sua approssimazione al grado $N$ pure; una formula integrale per risolvere una ODE è una soluzione; eccetera.
L'espansione di Taylor è una 'soluzione'?
come si fa a dire che non esiste una soluzione mediante funzioni elementari?La domanda che hai fatto diventa: il gruppo di Galois del polinomio \(y^5+16y -32 x^3 +32x\in \mathbb R(x)[y]\) è risolubile? Se sì, puoi risolvere "in maniera elementare" l'equazione \(y^5+16y -32 x^3 +32x=0\) ottenendo $y$ come una funzione (eventualmente razionale) di $x$.
Quindi: questo migliora le cose o le peggiora? La teoria di Galois la sai, o abbiamo fatto peggio?
Per quanto riguarda il problema, una volta trovata la serie formale che esprime, nell'intorno di \((x_0,y_0)\), $y$ in funzione di $x$, chiedersi "di che funzione la serie sia la serie" è un problema talmente sottodeterminato e mal posto che rispondere è completamente impossibile, senza conoscere ciascun termine della serie (e non è sempre ovvio stabilire delle relazioni di ricorrenza che permettano di capire a cosa converge -perché ora uno può anche chiedere: in che norma?- una serie: si scrivono interi libri a riguardo e le ragioni profonde per cui certe serie convergono a certe funzioni sono dei problemi delicati di combinatoria enumerativa).
Vabbe', mi sembrava chiaro. La domanda era: si può dimostrare che una equazione di 5° grado come quella che ho scritto presa dal libro, non ha soluzione? Come si fa una dimostrazione di non esistenza della soluzione?
(A prescindere dalla parola 'formula' , lo so che è vago, e, ripeto, nel libro è usata in maniera informale riferendosi alla definizione di funzione di Eulero).
Mettere una crocetta sulla risposta giusta:
a) Sì
b) No
c) Non so.
Sto scherzando, eh? Vi ringrazio per le risposte, che sono interessanti.
Ma chiedevo solo questo.
(A prescindere dalla parola 'formula' , lo so che è vago, e, ripeto, nel libro è usata in maniera informale riferendosi alla definizione di funzione di Eulero).
Mettere una crocetta sulla risposta giusta:
a) Sì
b) No
c) Non so.
Sto scherzando, eh? Vi ringrazio per le risposte, che sono interessanti.
Ma chiedevo solo questo.
si può dimostrare che una equazione di 5° grado come quella che ho scritto presa dal libro, non ha soluzione?Teoria di Galois, molto probabilmente, se accetti che "soluzione" significhi "funzione razionale di $x$ che coinvolge le operazioni di anello in \(\mathbb R(x)\) e l'operazione di "estrazione di radice" -in un generico anello, che ora per te è un anello di polinomi: questo genere di domande ("trovare soluzioni all'equazione \(Y^m=X\)") ha senso nell'anello delle serie di Puiseux in un insieme di indeterminate. Sei poi a conoscenza del fatto che esiste una teoria di Galois per le equazioni differenziali, che spiega in che senso non esiste una primitiva elementare per certe funzioni? Sei a conoscenza, spero meglio di quanto ne sono a conoscenza io, del fatto che esistono intere classi di spazi di funzioni il cui scopo è rispondere "sì, una soluzione a questa equazione differenziale esiste, ancorché in un senso generalizzato"? Questo genere di problemi ti possono dare delle coordinate per cercare una risposta alla tua domanda.
Come si fa una dimostarzione di non esistenza della soluzione?[/quote][/quote] Con pianto e stridore di denti, di solito.
Io non conosco la teoria di Galois, ma mi è arrivato il pettegolezzo che esiste, e sono a conoscenza, come dicevo più volte sopra, del fatto che si dimostra che non esiste una primitiva di certe funzioni, avevo quello in mente quando ho fatto la domanda, e so che la dimostrazione non è banale.
Ecco, questa mi sembra una risposta soddisfacente, ed è quella che in fondo mi aspettavo.
E soddisfa il mio senso metafisico.
Anche filosoficamente, mentre una dimostrazione che una cosa esiste può essere più intuibile (basta prendere un oggetto come esempio) una dimostrazione di non esistenza appare come più inquietante (a prescindere dai casi in cui dà luogo a contraddizioni logiche). Potrai enumerare milioni e miliardi di cose che non sono quella, ma nulla vieta che da qualche parte esista una che non hai enumerato.
Ma qui andiamo sul pippone filosofico, quindi lasciamo perdere.
"megas_archon":
Come si fa una dimostrazione di non esistenza della soluzione?Con pianto e stridore di denti, di solito.
Ecco, questa mi sembra una risposta soddisfacente, ed è quella che in fondo mi aspettavo.
E soddisfa il mio senso metafisico.
Anche filosoficamente, mentre una dimostrazione che una cosa esiste può essere più intuibile (basta prendere un oggetto come esempio) una dimostrazione di non esistenza appare come più inquietante (a prescindere dai casi in cui dà luogo a contraddizioni logiche). Potrai enumerare milioni e miliardi di cose che non sono quella, ma nulla vieta che da qualche parte esista una che non hai enumerato.
Ma qui andiamo sul pippone filosofico, quindi lasciamo perdere.
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