Una facile somma

[alberto861]

Salve,
secondo me faccio un errore. Avrei bisogno del vostro aiuto. Secondo voi come si può risommare la seguente espressione?
$\sum_{i dovrebbe venire $(n-1)\sum_i a_i$

[Martino]

Ciao,

perché non esponi il tuo ragionamento? Così vediamo.

[alberto861]

Per queste cose funziona quasi sempre farsi il conto in valori bassi, capire il trucco e poi induzione. Secondo me si ha
$\sum_{j dimostrazione:
$n=1$ ovvio viene $a_1$

poi ho

$\sum_{j $=(n-1)a_1+(n-2)a_2+...+a_{n-1}+(a_n+a_{n-1}+...+a_1)=na_1+(n-1)a_2+...+a_n$

corretto?
C'è una fonte illustre che afferma $\sum_{j non capisco dove sbaglio

[Lord K]

La tua fonte illustre sbaglia con queste ipotesi. Infatti il conto finale dovrebbe essere:

[tex]\displaystyle \sum_{i

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[alberto861]

grazie per la conferma!!

[Martino]

alberto, quando sommi fino a $n-1$ quello che rimane fuori non è [tex]a_n+a_{n-1}+...+a_1[/tex] (come scrivi) ma è [tex](n-1)a_n+a_{n-1}+...+a_1[/tex].

La fonte illustre non sbaglia (Lord K: prova con $a_1=1$ e $a_2=2$, la tua formula non torna).

Chiama [tex]s:=\sum_{i < j}^n(a_i+a_j)[/tex] e [tex]t:=\sum_{i=1}^n a_i[/tex].

Si ha

[tex]2s+2t=s+2t+s=[/tex]
[tex]=\sum_{i < j}(a_i+a_j)+\sum_{i=j}(a_i+a_j)+\sum_{i > j}(a_i+a_j)=[/tex]
[tex]=\sum_{i,j}(a_i+a_j) =[/tex]
[tex]=n(t+t) = 2nt[/tex],

da cui [tex]s=(n-1)t[/tex].

[Angelo210]

Martino, complimenti per la dimostrazione.
Se non sbaglio, quando sommi sino a $n-1$ quello che rimane fuori dovrebbe essere $(n-1)a_n+a_{n-1}+...+a_1$.
Dimmi se è così.

[Lord K]

Provo a far due conti e pensare ad "alta voce":

[tex]\displaystyle \sum_{i,j=1,i < j}^1 a_i+a_j = a_1[/tex]
[tex]\displaystyle \sum_{i,j=1,i < j}^2 a_i+a_j = a_2+a_1[/tex]
[tex]\displaystyle \sum_{i,j=1,i < j}^3 a_i+a_j = (a_3+a_2)+(a_3+a_1) + (a_2+a_1) + a_1 = 2a_3+2a_2+2a_1=(3-1)(a_3+a_2+a_1)[/tex]

in generale:

[tex]\displaystyle \sum_{i,j=1,i < j}^n a_i+a_j= (a_i+a_{i-1})+(a_i+a_{i-2})+\cdots +(a_i+a_1)+(a_{i-1}+a_{i-2})+\cdots + (a_{i-1}+a_1)+ \cdots +a_1[/tex]

da qui si vede (subito) che [tex]a_i[/tex] compare [tex]n-1[/tex] volte, [tex]a_{i-1}[/tex] compare una volta nelle somme con [tex]a_i[/tex] e [tex]n-2[/tex] volte nelle sue somme ovvero [tex]n-1[/tex] volte, analogamente per un [tex]a_{k}[/tex] compare una volta in tutti i precedenti per [tex]n-k[/tex] volte , [tex]k-1[/tex] volte nella sua somma e zero nelle successive per un totale di [tex]n-1[/tex] volte.

Mi hai convinto!

[Martino]

"Angelo":Se non sbaglio, quando sommi sino a $n-1$ quello che rimane fuori dovrebbe essere $(n-1)a_n+a_{n-1}+...+a_1$.
Dimmi se è così.

Sì hai ragione modifico

complimenti per la dimostrazione.

Grazie, ma non è un'idea così nascosta: le somme di questo tipo in genere si "risolvono" cercando di ricondursi a somme più "generali".