Una domanda sulle definizioni usando la logica
Ciao,
scrivo qui perché la domanda sorge studiando alcune definizioni in algebra lineare, tuttavia in realtà non è tanto la definizione in sé quanto piuttosto l'uso della logica che vorrei capire e quindi è più inerente a questa sezione del forum. Vediamo se riesco a spiegarmi.
Trovo come definizione di forma bilineare degenere e non degenere le seguenti definizioni su diversi testi:
Definizione (forma bilineare degenere):
A) una forma bilineare f è degenere se esiste $v in V$, $v!=0$ t.c per ogni $w in W$ si ha f(v,w)=0 (il "si ha" si traduce con => mentre t.c con l' "e" logico), quindi:
una forma bilineare f è degenere se esiste $v in V$, $v!=0$ e per ogni $w in W$ => f(v,w)=0
B) su altri testi trovo la seguente.
f bilineare degenere se esiste un vettore $v in V$ tale che ƒ(v, w) = 0, per ogni vettore $w in W$.
Quindi ho che f bilineare degenere se esiste un vettore $v in V$ e ƒ(v, w) = 0, per ogni $w in W$.
C'e una differenza quindi perche da una parte mi sembra usare una "implicazione" nela prima definizione dall'altra un "e", nella seconda. Ma procediamo...
i dubbi si infittiscono quando prendo la definizione seguente
Definizione (forma bilineare NON degenere):
C) f è non degenere se per ogni $v in V$ t.c. $f(v,w)=0$ per ogni $w in W$ => $v=0$
Provando a negare la definizione C) trovo che:
essite $v in V$ t.c. $f(v,w)=0$ per ogni $w in W$ e $v!=0$
Come atteso questa negazione della definizione di "f non degenere" dovrebbe restituirci proprio la definizione di "f degenere" e notiamo quindi che solo se definita come B) può funzionare che: not C)= B); la A) che contemplava => non funzionerebbe per nulla: not C) ≠ A) (perché la negazione porta a un e, mentre A usa proprio un =>).
Volevo quindi chiedervi, mi potreste aiutare con questi dubbi? Vorrei proprio risolverli per bene per capire come usare la logica proposizionale in tali tipi di definizioni.
scrivo qui perché la domanda sorge studiando alcune definizioni in algebra lineare, tuttavia in realtà non è tanto la definizione in sé quanto piuttosto l'uso della logica che vorrei capire e quindi è più inerente a questa sezione del forum. Vediamo se riesco a spiegarmi.
Trovo come definizione di forma bilineare degenere e non degenere le seguenti definizioni su diversi testi:
Definizione (forma bilineare degenere):
A) una forma bilineare f è degenere se esiste $v in V$, $v!=0$ t.c per ogni $w in W$ si ha f(v,w)=0 (il "si ha" si traduce con => mentre t.c con l' "e" logico), quindi:
una forma bilineare f è degenere se esiste $v in V$, $v!=0$ e per ogni $w in W$ => f(v,w)=0
B) su altri testi trovo la seguente.
f bilineare degenere se esiste un vettore $v in V$ tale che ƒ(v, w) = 0, per ogni vettore $w in W$.
Quindi ho che f bilineare degenere se esiste un vettore $v in V$ e ƒ(v, w) = 0, per ogni $w in W$.
C'e una differenza quindi perche da una parte mi sembra usare una "implicazione" nela prima definizione dall'altra un "e", nella seconda. Ma procediamo...
i dubbi si infittiscono quando prendo la definizione seguente
Definizione (forma bilineare NON degenere):
C) f è non degenere se per ogni $v in V$ t.c. $f(v,w)=0$ per ogni $w in W$ => $v=0$
Provando a negare la definizione C) trovo che:
essite $v in V$ t.c. $f(v,w)=0$ per ogni $w in W$ e $v!=0$
Come atteso questa negazione della definizione di "f non degenere" dovrebbe restituirci proprio la definizione di "f degenere" e notiamo quindi che solo se definita come B) può funzionare che: not C)= B); la A) che contemplava => non funzionerebbe per nulla: not C) ≠ A) (perché la negazione porta a un e, mentre A usa proprio un =>).
Volevo quindi chiedervi, mi potreste aiutare con questi dubbi? Vorrei proprio risolverli per bene per capire come usare la logica proposizionale in tali tipi di definizioni.
Risposte
"serafinon":
Provando a negare la definizione C) trovo che:
essite $ v in V $ t.c. $ f(v,w)=0 $ per ogni $ w in W $ e $ v!=0 $
Scritto meglio sarebbe:
esiste $ v!=0 in V$ t.c. $ f(v,w)=0 $ per ogni $ w in W$,
Che è esattamente la definizione di forma bilineare degenere che hai dato in A) (occhio che al punto A hai scritto "non degenere" ma quella è la definizione di degenere)
Hai ragionissima è una svista. Ho corretto.
Però forse ho espresso male la mia domanda perché il dubbio era capire quali tra A) e B) fosse la corretta definizione, a me quella che tu hai riportato sembra più la versione B) piuttosto che la A) come invece dici.
Vediamo perché dico questo:
Definizione (forma bilineare degenere):
A) una forma bilineare f è degenere se esiste v∈V, v≠0 e per ogni w∈W => f(v,w)=0
B) f bilineare degenere se esiste un vettore v∈V, v≠0 e ƒ(v, w) = 0, per ogni w∈W
La mi domanda era capire come tradurre (cioè se in A o B) la definizione data a parole dal testo:
"una forma bilineare f è degenere se esiste v∈V, v≠0 t.c per ogni w∈W si ha f(v,w)=0
A e B esprimono solo una diversa traduzione del "si ha": in A) si traduce con => mentre in B) con l' "e" logico.
A me il "si ha" ispirava un "implica", invece mi pare sia un "e" (che equivale al tuo t.c) e non capisco perché.
Che sia "e" è testimoniato inoltre dal fatto che prendendo la definizione di NON degenere
Definizione (forma bilineare NON degenere):
C) f è non degenere se per ogni v∈V t.c. f(v,w)=0 per ogni w∈W => v=0
E provando a negare la definizione C) trovo che:
esiste v∈V t.c. f(v,w)=0 per ogni w∈W e v≠0
(questo è vero perché in C) avevo "per ogni[...] => [...]" e negarlo vuol dire scrivere "esiste... e[...]")
Che mi sembra proprio la definizione B)
Più chiaro il dubbio?
Grazie!
Però forse ho espresso male la mia domanda perché il dubbio era capire quali tra A) e B) fosse la corretta definizione, a me quella che tu hai riportato sembra più la versione B) piuttosto che la A) come invece dici.
Vediamo perché dico questo:
Definizione (forma bilineare degenere):
A) una forma bilineare f è degenere se esiste v∈V, v≠0 e per ogni w∈W => f(v,w)=0
B) f bilineare degenere se esiste un vettore v∈V, v≠0 e ƒ(v, w) = 0, per ogni w∈W
La mi domanda era capire come tradurre (cioè se in A o B) la definizione data a parole dal testo:
"una forma bilineare f è degenere se esiste v∈V, v≠0 t.c per ogni w∈W si ha f(v,w)=0
A e B esprimono solo una diversa traduzione del "si ha": in A) si traduce con => mentre in B) con l' "e" logico.
A me il "si ha" ispirava un "implica", invece mi pare sia un "e" (che equivale al tuo t.c) e non capisco perché.
Che sia "e" è testimoniato inoltre dal fatto che prendendo la definizione di NON degenere
Definizione (forma bilineare NON degenere):
C) f è non degenere se per ogni v∈V t.c. f(v,w)=0 per ogni w∈W => v=0
E provando a negare la definizione C) trovo che:
esiste v∈V t.c. f(v,w)=0 per ogni w∈W e v≠0
(questo è vero perché in C) avevo "per ogni[...] => [...]" e negarlo vuol dire scrivere "esiste... e[...]")
Che mi sembra proprio la definizione B)
Più chiaro il dubbio?
Grazie!
"serafinon":
A) una forma bilineare f è non degenere se esiste v∈V, v≠0 e per ogni w∈W => f(v,w)=0
Per prima cosa la definizione è senza "non", di nuovo.
Riguardo quello che chiedi, "e" e "tale che" non sono equivalenti a livello di logica, infatti questa definizione corretta sarebbe:
Una forma bilineare f è degenere se esiste $v∈V, v≠0$ t.c., per ogni $w∈W => f(v,w)=0$
Anzi, essendo precisi al 100%, il "per ogni" è superfluo e sarebbe:
Una forma bilineare f è degenere se esiste $v∈V, v≠0$ t.c. $w∈W => f(v,w)=0$
Ma anche la prima versione, impropriamente, l'ho vista usare dai professori a volte.
Poi ci tenevo a specificare che il "tale che" è un operatore logico, quindi puoi mantenerlo così, e corrisponde in italiano a "con la proprietà che:"
"serafinon":
B) f bilineare degenere se esiste un vettore v∈V e ƒ(v, w) = 0, per ogni w∈W
Questa invece non ha senso minimamente. Tu vorresti dire questo:
f bilineare è degenere se esiste un vettore $v∈V$ t.c. $ƒ(v, w) = 0$, per ogni $w∈W$.
Che è uguale a quella A ma con la differenza che, in A, supponi $v!=0$ (che è giusto), quindi quella giusta è la A (con le dovute correzioni).
Porca miseria ho fatto un brutale copia incolla e non mi ero accorto del "non" anche sotto. Ri-ricorreggo. Ma è ovviamente una svista non farci caso il concetto che erravo non era quello 
.
Ok, la tua osservazione è corretta, però la potrei rendere così ero stato solo impreciso:
B) f bilineare degenere se esiste un vettore v∈V, v≠0 e ƒ(v, w) = 0, per ogni w∈W
Il punto è però che se prendiamo la C)
Definizione (forma bilineare NON degenere):
C) f è non degenere se per ogni v∈V e f(v,w)=0 per ogni w∈W => v=0
E provando a negare la definizione C) trovo che:
esiste v∈V e f(v,w)=0 per ogni w∈W e v≠0
e non avrò mai l'implicaizone che ho invece in A). Come aggiusto quindi questa incongruenza nella negazione di C?
Tra l'altro non riesco più a trovarla, ma avevo tradotto "t.c" con "e" e non con "=>" perché un utente abbastanza preparato che bazzica la sezione logica riportava proprio quella traduzione "t.c <=> e".
La cosa inizia a incuriosirmi, ma non so risolverla da solo
.Ok, la tua osservazione è corretta, però la potrei rendere così ero stato solo impreciso:
B) f bilineare degenere se esiste un vettore v∈V, v≠0 e ƒ(v, w) = 0, per ogni w∈W
Il punto è però che se prendiamo la C)
Definizione (forma bilineare NON degenere):
C) f è non degenere se per ogni v∈V e f(v,w)=0 per ogni w∈W => v=0
E provando a negare la definizione C) trovo che:
esiste v∈V e f(v,w)=0 per ogni w∈W e v≠0
e non avrò mai l'implicaizone che ho invece in A). Come aggiusto quindi questa incongruenza nella negazione di C?
Tra l'altro non riesco più a trovarla, ma avevo tradotto "t.c" con "e" e non con "=>" perché un utente abbastanza preparato che bazzica la sezione logica riportava proprio quella traduzione "t.c <=> e".
La cosa inizia a incuriosirmi, ma non so risolverla da solo
Peraltro non mi ritrovo anche qui:
f bilineare è degenere se esiste un vettore $v∈V$ $v!=0$ t.c. $f(v,w)=0$, per ogni $w∈W$
che hai detto coincidere con
f bilineare è degenere se esiste $v∈V,v≠0$ t.c. $w∈W⇒f(v,w)=0$
ma se così fosse dovendo coincidere le due definizioni allora avremmo che il t.c sarebbe un => in tal caso.
f bilineare è degenere se esiste un vettore $v∈V$ $v!=0$ t.c. $f(v,w)=0$, per ogni $w∈W$
che hai detto coincidere con
f bilineare è degenere se esiste $v∈V,v≠0$ t.c. $w∈W⇒f(v,w)=0$
ma se così fosse dovendo coincidere le due definizioni allora avremmo che il t.c sarebbe un => in tal caso.
"serafinon":
un utente abbastanza preparato che bazzica la sezione logica riportava proprio quella traduzione "t.c <=> e".
Allora ad essere sincero non saprei se questo è vero, però ti rendi conto che scrivendo:
f bilineare degenere se esiste un vettore $v∈V, v≠0$ e $ƒ(v, w) = 0$, per ogni $w∈W$
la definizione non ha senso?
Scriviamolo in proposizioni:
$P$ = esiste un vettore $v∈V, v≠0$
$Q$ = $ƒ(v, w) = 0$, per ogni $w∈W$
Quindi:
f è una forma bilineare degenere se $P$ e $Q$.
Che non ha senso!
Perchè chiedi che due proposizioni siano soddisfatte allo stesso tempo, quando la prima è l'esistenza di un vettore non nullo qualsiasi, perchè non specifichi le condizioni, e la seconda è una condizione su una proprietà di v, un vettore che non hai precedentemente definito.
La forma corretta è:
f bilineare degenere se esiste un vettore $v∈V, v≠0$ tale che: $ƒ(v, w) = 0$, per ogni $w∈W$.
Grazie ancora ovviamente.
1) Ho visto che hai risposto mentre stavo aggiungendo una parte, quello che però non mi torna troppo è questo:
2)
Devi scusarmi ma non ho capito perché non sarebbe sensato.
A me sembra che dico "ogni vettore v, basta che non nullo" e "se moltiplico quel vettore scalarmente per qualunque altro vettore ho risultato dell'operazione=zero". Quando questo accade ho la definizione che ha valore di verità: vero.
Perché non funzionerebbe?
1) Ho visto che hai risposto mentre stavo aggiungendo una parte, quello che però non mi torna troppo è questo:
"serafinon":
Peraltro non mi ritrovo anche qui:
f bilineare è degenere se esiste un vettore $v∈V$ $v!=0$ t.c. $f(v,w)=0$, per ogni $w∈W$
che hai detto coincidere con
f bilineare è degenere se esiste $v∈V,v≠0$ t.c. $w∈W⇒f(v,w)=0$
ma se così fosse dovendo coincidere le due definizioni allora avremmo che il t.c sarebbe un => in tal caso.
2)
Che non ha senso!
Perchè chiedi che due proposizioni siano soddisfatte allo stesso tempo, quando la prima è l'esistenza di un vettore non nullo qualsiasi, perchè non specifichi le condizioni, e la seconda è una condizione su una proprietà di v, un vettore che non hai precedentemente definito.
Devi scusarmi ma non ho capito perché non sarebbe sensato.
A me sembra che dico "ogni vettore v, basta che non nullo" e "se moltiplico quel vettore scalarmente per qualunque altro vettore ho risultato dell'operazione=zero". Quando questo accade ho la definizione che ha valore di verità: vero.
Perché non funzionerebbe?
"serafinon":
Peraltro non mi ritrovo anche qui:
f bilineare è degenere se esiste un vettore $v∈V$ $v!=0$ t.c. $f(v,w)=0$, per ogni $w∈W$
che hai detto coincidere con
f bilineare è degenere se esiste $v∈V,v≠0$ t.c. $w∈W⇒f(v,w)=0$
ma se così fosse dovendo coincidere le due definizioni allora avremmo che il t.c sarebbe un => in tal caso.
No, non "trasformi" il tale che, in questo caso ho modificato la proposizione: $AAw∈W, f(v,w)=0$
In: $w∈W=>f(v,w)=0$
Che è equivalente
"serafinon":
A me sembra che dico "ogni vettore v, basta che non nullo" e "se moltiplico quel vettore scalarmente per qualunque altro vettore ho risultato dell'operazione=zero". Quando questo accade ho la definizione che ha valore di verità: vero.
Perché non funzionerebbe?
Il problema è "quel", infatti quando dici che esiste il vettore $vinV$ non nullo non dici che deve soddisfare anche la seconda proprietà, cioè $f(v,w)=0$...
A me non sembra valida come proposizione, ma per essere sicuro è meglio che aspetti qualcuno più bravo di me
"ProPatria":
[quote="serafinon"]Peraltro non mi ritrovo anche qui:
f bilineare è degenere se esiste un vettore $v∈V$ $v!=0$ t.c. $f(v,w)=0$, per ogni $w∈W$
che hai detto coincidere con
f bilineare è degenere se esiste $v∈V,v≠0$ t.c. $w∈W⇒f(v,w)=0$
ma se così fosse dovendo coincidere le due definizioni allora avremmo che il t.c sarebbe un => in tal caso.
No, non "trasformi" il tale che, in questo caso ho modificato la proposizione: $AAw∈W, f(v,w)=0$
In: $w∈W=>f(v,w)=0$
Che è equivalente[/quote]
No aspetta non ho ben capito
Il punto era, abbiamo detto che ci sono due modi di esprimere la definizione:
f bilineare è degenere se esiste $v∈V,v≠0$ t.c. $w∈W⇒f(v,w)=0$
oppure
f bilineare è degenere se esiste un vettore $v∈V$ $v!=0$ t.c. $f(v,w)=0$, per ogni $w∈W$
(che ho trovato da fonti diverse ed equamente scritte)
Ma se questi due modi devono coincidere non stiamo dicendo che => equivale al tale che?
Infatti scriviamo $v∈V$ $v!=0$, per ogni $w∈W$ (t.c./=>) $f(v,w)=0$
"serafinon":
Ma se questi due modi devono coincidere non stiamo dicendo che => equivale al tale che?
Infatti scriviamo $v∈V$ $v!=0$, per ogni $w∈W$ (t.c./=>) $f(v,w)=0$
no, stai usando male il t.c.
questa proposizione puoi scriverla in due modi, cioè così
$EEv∈V$, $v!=0$, t.c. per ogni $w∈W$, $f(v,w)=0$
Oppure così
$EEv∈V$, $v!=0$, t.c. $w∈W => f(v,w)=0$
Uhm, ok.
E potrei chiederti come negheresti quindi:
Definizione (forma bilineare NON degenere):
C) f è non degenere se per ogni v∈V t.c. f(v,w)=0 per ogni w∈W => v=0
?
Perché non capisco a conti fatti come possa coincidere con quelle sopra. Quella implicazione (del tuo post appena qui sopra) non la troverò mai negando la C. E' un po' li che mi blocco.
E potrei chiederti come negheresti quindi:
Definizione (forma bilineare NON degenere):
C) f è non degenere se per ogni v∈V t.c. f(v,w)=0 per ogni w∈W => v=0
?
Perché non capisco a conti fatti come possa coincidere con quelle sopra. Quella implicazione (del tuo post appena qui sopra) non la troverò mai negando la C. E' un po' li che mi blocco.
"serafinon":
Uhm, ok.
E potrei chiederti come negheresti quindi:
Definizione (forma bilineare NON degenere):
C) f è non degenere se per ogni v∈V t.c. f(v,w)=0 per ogni w∈W => v=0
?
Perché non capisco a conti fatti come possa coincidere con quelle sopra. Quella implicazione (del tuo post appena qui sopra) non la troverò mai. E' un po' li che mi blocco.
La negazione di $P=>Q$ si fa così:
$P vv negQ$
E per avere senso quella definizione deve essere:
f è non degenere se $v in V$ t.c. $f(v,w)=0$ per ogni $w∈W => v=0$
E non come l'hai scritta tu.
Prova a ragionarci ora
Io direi che la negazione di $P => Q$ è $P ^^ neg Q$
"ProPatria":
f è non degenere se $v in V$ t.c. $f(v,w)=0$ per ogni $w∈V => v=0$
Ma a me sembra esattamente quello che ho scritto
"Io me medesimo":
Definizione (forma bilineare NON degenere):
C) f è non degenere se per ogni v∈V t.c. f(v,w)=0 per ogni w∈V => v=0
Io vorrei negare questa, per ottenere la definizione di degenere. E come dicevo mi sembra che la negazione sia:
f è degenere se esiste $v in V$ t.c. $f(v,w)=0$ per ogni $w∈V ∧ v!=0$
E non capisco come faccia a coincidere con
"ProPatria":
questa proposizione puoi scriverla in due modi, cioè così
$EEv∈V$, $v!=0$, t.c. per ogni $w∈V$, $f(v,w)=0$
Oppure così
$EEv∈V$, $v!=0$, t.c. $w∈V => f(v,w)=0$
che sono nettamente diverse, essendoci di mezzo una implicazione che dalla negazione non ottengo.
Sono proprio ritardato
PS:
"axpgn":
Io direi che la negazione di $P => Q$ è $P ^^ neg Q$
Sì, credo sia una svista!
"axpgn":
Io direi che la negazione di $P => Q$ è $P ^^ neg Q$
hai ragione, scusate
"serafinon":
come dicevo mi sembra che la negazione sia:
f è degenere se esiste $v in V$ t.c. $f(v,w)=0$ per ogni $w∈V ∧ v!=0$
E non capisco come faccia a coincidere con
[quote="ProPatria"]
questa proposizione puoi scriverla in due modi, cioè così
$EEv∈V$, $v!=0$, t.c. per ogni $w∈V$, $f(v,w)=0$
Oppure così
$EEv∈V$, $v!=0$, t.c. $w∈V => f(v,w)=0$
[/quote]
è esattamente la prima
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