Una dimostrazione non chiara sugli anelli notheriani

[mklplo751]

Salve. Nelle ultime lezioni di Algebra 2 abbiamo enunciato e dimostrato l'esistenza di una decomposizione primaria normale per ogni ideale proprio in un anello notheriano unitario, tuttavia, vedendo sul libro ("Lezioni di Algebra" Curzio, Longobardi) noto che omette l'ipotesi che l'anello sia unitario e tuttavia cambia una dimostrazione di un lemma, ovvero invece di portare una dimostrazione che ogni ideale irriducibile proprio è primario in un anello noetheriano unitario, riporta la dimostrazione che ogni ideale irriducibile proprio è primario in un anello notheriano (non per forza unitario). In quest'altra dimostrazione però c'è un passo che non mi è chiaro. Ovvero, se $H$ è un ideale proprio di un anello noetheriano $A$ e $x$ è un elemento dell'anello, allora denotato con $[(x):H]={a \in A: ax \in H}$, il libro fa notare che $[(x^n):H]\sub [(x^(n+1)):H]$ e dunque usando il fatto che l'anello è notheriano, la successione così creata è stazionaria. Chiamiamo $m$ l'intero tale che $[(x^m):H]=[(x^k):H]$ per ogni $k>m$ allora, dice, $(x^m)+H=(x^(m+1))+H$ ed è questo il punto che non mi è chiaro. Ovvero perchè in questo caso l'ideale somma dell'ideale generato da $x^m$ e $H$ coincide con l'ideale somma dell'ideale generato da $x^(m+1)$ e $H$?
Ho provato a dimostrare che ${sx^m+ax^m+h:s \in ZZ a\in A h \in H}={rx^(m+1)+bx^m+k: r \in ZZ b \in A k \in H}$ ma non ci sono riuscito. Se non vi reca disturbo, potreste togliermi questo dubbio?

[mklplo751]

Forse per chiarezza, mi conviene riportare l'intera dimostrazione

Sia $H$ irriducibile proprio e supponiamo per assurdo che non sia primario. Allora esistono $x,y \in A$ tali che $xy \in H$ e $y \notin H$ e $x^n \notin H$ per ogni $n\in NN$ e quindi per ogni $n>0$ $H \subset (x^n)+H$. Inoltre si ha che per ogni $n>0$ $x^ny=x^(n-1)xy$ da cui segue che $y \in [(x^n):H]$ e $H \subset [(x^n):H]$. Inoltre $[(x):H] \subset [(x^2):H] \subset \dots$ allora poichè l'anello è noetheriano, esiste $m>0$ tale che per ogni $k>= m$ si ha che $[(x^m):H]=[(x^k):H]$. Sia $z\in ((x^m)+H)nn[(x^m):H]$. Allora $z \in (x^m)+H=(x^(m+1))+H$ (ed è proprio questa l'uguaglianza che non mi è chiara) allora $z=ax^(m+1)+sx^(m+1)+h$ con $a \in A$ $s \in ZZ$ e $h \in H$. Inoltre $ z \in [(x^m)+H]$ da cui segue che $x^mz \in H$, allora $x^mh+ax^(2m+1)+sx^(2m+1) \in H$, allora $(ax+sx) \in [(x^(2m)):H]=[(x^m):H]$ da cui segue $z-h=ax^(m+1)+sx^(m+1)=(ax+sx)x^m \in H$ allora $z \in H$. Allora dall'irriducibilità di H, abbiamo l'assurdo.

Inoltre, sperando che vada bene, qui metto anche la foto della dimostrazione.

[Studente Anonimo]

Non capisco perché dovrebbe essere vero che $H+(x^n)=H+(x^(n+1))$ ma mi sembra inutile, prova a scrivere la dimostrazione con $z=h+ax^n+sx^n$. Il resto tutto uguale. Mi sembra che funzioni

[mklplo751]

@Martino:grazie per aver risposto, tuttavia rifecendo la dimostrazione arrivo a un punto dove non posso procedere, dato che mancando l'unità dovrò per forza scrivere $ax+sx \in [(x^n):H]$ e quindi $ax^(n+1)+sx^(n+1)\in H$ purtroppo il fatto che non è unitario mi causa questo problema, tuttavia, a occhio, mi sembra che non cambia se al posto di dimostrare che $H=(x^n)+Hnn[(x^n):H]$ dimostro che $H=(x^(n+1))+Hnn[(x^n):H]$,giusto?

[Studente Anonimo]

Giusto hai ragione.

"mklplo":A occhio, mi sembra che non cambia se al posto di dimostrare che $H=(x^n)+Hnn[(x^n):H]$ dimostro che $H=(x^(n+1))+Hnn[(x^n):H]$,giusto?

Mi sembra di sì.

A quanto vedo mi sembra semplicemente un errore del libro, capita.

[mklplo751]

Va bene. Grazie nuovamente per aver risposto.