Una congruenza più unica che rara!
Vi propongo la versione "potenziata" di un problema che mi è capitato di affrontare nel corso delle mie ricerche sulla velocità di congruenza della tetrazione, ma che credo sia interessante di per sé (questo risultato è già stato dimostrato, sia per conto mio che in modo indipendente, quindi vi inviterei a prenderlo come un esercizio mediamente impegnativo di teoria dei numeri e provarci per conto vostro senza cercare la risposta online 
).
PROBLEMA: \(\DeclareMathOperator\len{len}\) Si consideri il comune sistema di numerazione decimale. Siano \(a, b \in \mathbb{N} -\{ 0, 1 \}\); inoltre definiamo \({^{b}a}\) essere \(a^a\) se \(b = 2\) e \(a^{\left(^{b-1}a \right)}\) se \(b \geq 3\) (per esempio, \({^{3}5} = 5^{\left( 5^5 \right)} = 5^{3125})\).
In aggiunta, poniamo \(\len({^{b}a}) := \lfloor{\log_{10} (^{b}a) }\rfloor + 1\) così da poter indicare in modo compatto il numero delle cifre di \({^{b}a}\) (per capirci, se abbiamo che \(a=5\) e \(b=2\), allora risulta \(\len({^{2}5}) = \len(3125) = 4)\).
DOMANDA: Dimostrare rigorosamente che \({^{b}a} \equiv {^{b+1}a \pmod {10^{\len({^{b}a})}}}\) solo se \(a=5\) (si noti che \(a=5\) è chiaramente una soluzione valida, giacché \({^{2}5} \equiv {^{3}5} \pmod {10^4})\).
Buon divertimento e buona matematica a tutti!
N.B. Ho ridefinito la tetrazione intera, imponendo che abbia un'altezza almeno pari a \(2\), perché altrimenti avremmo infinite soluzioni (tutte quelle date dalla sequenza A082576 della OEIS - cfr. https://oeis.org/A082576 – depurata del suo primo termine!).
P.S. Ho eliminato un'ambiguità formale nella domanda (riscrivendola come \({^{b}a} \equiv {^{b+1}a \pmod {10^{\len({^{b}a})}}} \Rightarrow a=5\)) in seguito al dubbio avanzato dall'utente @megas_archon, che ringrazio per la precisazione (ho lasciato comunque l'esempio, anche se non più necessario, per facilitarne ulteriormente la comprensione).
).PROBLEMA: \(\DeclareMathOperator\len{len}\) Si consideri il comune sistema di numerazione decimale. Siano \(a, b \in \mathbb{N} -\{ 0, 1 \}\); inoltre definiamo \({^{b}a}\) essere \(a^a\) se \(b = 2\) e \(a^{\left(^{b-1}a \right)}\) se \(b \geq 3\) (per esempio, \({^{3}5} = 5^{\left( 5^5 \right)} = 5^{3125})\).
In aggiunta, poniamo \(\len({^{b}a}) := \lfloor{\log_{10} (^{b}a) }\rfloor + 1\) così da poter indicare in modo compatto il numero delle cifre di \({^{b}a}\) (per capirci, se abbiamo che \(a=5\) e \(b=2\), allora risulta \(\len({^{2}5}) = \len(3125) = 4)\).
DOMANDA: Dimostrare rigorosamente che \({^{b}a} \equiv {^{b+1}a \pmod {10^{\len({^{b}a})}}}\) solo se \(a=5\) (si noti che \(a=5\) è chiaramente una soluzione valida, giacché \({^{2}5} \equiv {^{3}5} \pmod {10^4})\).
Buon divertimento e buona matematica a tutti!
N.B. Ho ridefinito la tetrazione intera, imponendo che abbia un'altezza almeno pari a \(2\), perché altrimenti avremmo infinite soluzioni (tutte quelle date dalla sequenza A082576 della OEIS - cfr. https://oeis.org/A082576 – depurata del suo primo termine!).
P.S. Ho eliminato un'ambiguità formale nella domanda (riscrivendola come \({^{b}a} \equiv {^{b+1}a \pmod {10^{\len({^{b}a})}}} \Rightarrow a=5\)) in seguito al dubbio avanzato dall'utente @megas_archon, che ringrazio per la precisazione (ho lasciato comunque l'esempio, anche se non più necessario, per facilitarne ulteriormente la comprensione).
Risposte
Perdonatemi, anche se era implicito nei dati del problema, ho preferito editare per specificare che stiamo considerando il classico sistema di numerazione decimale (radix-\(10\)).
Colgo l'occasione per chiedere se qualcuno stesse provando a risolvere questo quesito che mi rendo conto essere non banale e se magari servisse un piccolo suggerimento/aiuto.
Colgo l'occasione per chiedere se qualcuno stesse provando a risolvere questo quesito che mi rendo conto essere non banale e se magari servisse un piccolo suggerimento/aiuto.
Più che necessitare di un suggerimento, non si capisce come sia quantificato $b$ nella domanda: dimostrare che se per ogni b, \({}^ba\equiv {}^{b+1}a\) allora $a=5$? Dimostrare che se esiste $b$ tale che \({}^ba\equiv {}^{b+1}a\) allora $a=5$?
"megas_archon":
Più che necessitare di un suggerimento, non si capisce come sia quantificato $b$ nella domanda: dimostrare che se per ogni b, \({}^ba\equiv {}^{b+1}a\) allora $a=5$? Dimostrare che se esiste $b$ tale che \({}^ba\equiv {}^{b+1}a\) allora $a=5$?
A me in realtà pare tutto ben definito, giacché ho dichiarato essere \(b\) un qualsiasi numero intero dato, purché strettamente maggiore di \(1\) e dunque \(b\) può variare in tutti i naturali maggiori o uguali a \(2\)...
Banalmente, ho ridefinito una generica tetrazione intera, imponendovi la condizione che la sua altezza debba essere almeno pari a \(2\), chiamando la sua base \(a\) e la sua l'altezza \(b\).
Ora, essendo la tetrazione (come la potenza) un operatore binario, per calcolare \(a\) tetratto \(b\) si deve preventivamente assegnare un valore sia alla base che all'iperesponente; pertanto l'esercizio da me proposto (che capisco non essere semplicissimo) chiede di dimostrare che l'unica coppia \((a,b)\) tale per cui valga la congruenza assegnata sia proprio \((a=5 \wedge b=2\) ).
P.S. Ho riletto come ho scritto la domanda iniziale (con il se e solo se) e in effetti, avendo tagliato una parte del testo originario che avevo scritto in inglese, potrebbe errere imprecisa... a noi interessa l'implicazione semplice (il "solo se"). Nel contesto di riferimento fisso sempre la base e faccio variare l'iperesponente, perché lo assegno come \(b:=b(a)\), ora spero sia tutto chiaro.
No, e non penso tu abbia capito cosa ti ho chiesto. Ti ho chiesto: b è una variabile quantificata universalmente o no? Cioè, va dimostrato che "se per ogni b si ha [congruenza] allora a=5", oppure che "se esiste b tale che [congruenza] allora a=5"?
"megas_archon":
No, e non penso tu abbia capito cosa ti ho chiesto. Ti ho chiesto: b è una variabile quantificata universalmente o no? Cioè, va dimostrato che "se per ogni b si ha [congruenza] allora a=5", oppure che "se esiste b tale che [congruenza] allora a=5"?
La risposta mi pare più che ovvia, giacché l'unico intero che verifica la tua richiesta è l'unità, ma essa non appartiene al dominio di \(a\) che ho dichiarato nell'esercizio...
Per fugare il tuo dubbio, basta che provi a sostituire \(a=5\) e \(b=3\) nella relazione di congruenza data (\(^3{5}\) è un numero di \(2185\) cifre, ma non ci serve di andare tanto in profondità!) e vedrai che già non è più verificata (i.e., abbiamo che \(^3{5} \equiv 908203125 \pmod{10^9}\), mentre \(^4{5} \equiv 408203125 \pmod{10^9}\) e quindi la congruenza a base \(a=5\) proprio non tiene per alcun \(b > 2\), da lì la mia risposta sintetica).
In sostanza, non ho specificato nella domanda iniziale che la congruenza non si deve per forza estendere a ciascun \(b\) dell'insieme dato, ma basta che valga per un qualche iperesponente intero maggiore o uguale a \(2\).
A me poi fa sempre piacere chiarire i dubbi o le imprecisioni che magari posso commettere scrivendo qui a tempo perso...
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