Un s.g. di un gruppo ciclico è ciclico.

[wide87]

Ho deciso di provarlo nella maniera più astratta possibile...
Hp:
$H < G$,
$G = $
Th: H è ciclico

DIM: Per assurdo fissato un $hinH$ $ EE h_0$ tale che risulti $h_0 != h^i AA iinZ$
Ma gli $h^i$ stando in G che è costituito solo da elementi di tipo $g^a$ sarà un elemento di tipo $g^(a_i)$
Quindi ho detto che se H sottogruppo non è ciclico allora esiste un elemento di H che non appartiene a G dunque neanche ad H. Contraddizione.
Che ne pensate? Andrebbe limato qualcosina?

[j18eos]

Più che limato dev'essere sistemato così [tex]$\forall h\in H,\,\exists h_0\in H\mid \forall i\in\mathbb{Z},\,h^i\neq h_0$[/tex] ovvero [tex]$H$[/tex] non sia ciclico! Poi come fai ad affermare che [tex]$h_0\not\in G$[/tex]?

[wide87]

circa la negazione della tesi mi sembra che sia identica alla mia salvo maggiore uso di simboli.
Dico che $h_0 !in G$ la motivazione è che $AA i in Z : h_0 != g^(a_i)$

[francicko]

Non vorrei sbagliarmi ma credo che per dimostrare che un sottogruppo di un gruppo ciclico è ciclico, bisogna necessariamente utilizzare due proprietà fondamentali dei numeri naturali;

1) il principio del minimo per cui ogni sottoinsieme non vuoto di $N$ ha un elemento minimo;

2) l'algoritmo euclideo, per cui comunque presi due qualsiasi numeri naturali $a$,$b$, con $a>b$,allora esistono due interi $q$, ed $r$ tali che si ha $a=bq+r$ con $0<=r
La dimostrazione almeno quella più elementare non può pertanto prescindere dall'utilizzo di queste due proprietà, peraltro la trovi in qualsiasi testo di algebra astratta, comunque non è difficile arrivarci sempre però che si utilizzino le proprietà sopraelencate, prova!

[mistake89]

"francicko":Non vorrei sbagliarmi ma credo che per dimostrare che un sottogruppo di un gruppo ciclico è ciclico, bisogna necessariamente utilizzare due proprietà fondamentali dei numeri naturali;

1) il principio del minimo per cui ogni sottoinsieme non vuoto di $N$ ha un elemento minimo;

2) l'algoritmo euclideo, per cui comunque presi due qualsiasi numeri naturali $a$,$b$, con $a>b$,allora esistono due interi $q$, ed $r$ tali che si ha $a=bq+r$ con $0<=r
La dimostrazione credo sia unica e non può pertanto prescindere dall'utilizzo di queste due proprietà, peraltro la trovi in qualsiasi testo di algebra astratta, comunque non è difficile arrivarci sempre però che si utilizzino le proprietà sopraelencate, prova!

Questa cosa dell'unicità di una dimostrazione mi sembra un po' pretenziosa... io stesso credo di averne letta una che usa gli isomorfismi con $ZZ$ o $ZZ_n$ per cui...

[francicko]

Si hai ragione dovevo dire quella più elementare!
Grazie per la precisazione, ho provveduto alla modifica di ciò che avevo asserito.