Un pò di aritmetica... come dice Karl!!!

[Principe2]

ecco un bel problemino per tutti:

dimostrare che se

 



  ac - b^2         bd - c^2

-------------- = -------------

 a - 2b + c       b - 2c + d

allora entrambe le precedenti frazioni eguagliano la seguente:

 



   ad - bc

--------------

a - b - c + d

buon lavoro a tutti.

ciao, ubermensch

p.s. non è specificato il dominio di a,b,c,d!!



Modificato da - ubermensch il 25/02/2004 19:27:38

[Sk_Anonymous]

Ho trovato che le prime due frazioni sono
uguali se :
1)b=c
oppure
2)ac-ad+bc+bd-b^2-c^2=0
Per tali relazioni sono uguali anche
la terza e la prima e quindi lo sono tutte
e tre le frazioni.La verifica e' facile anche se
un po' faticosa.
Ubermensch,questi quesiti non postarli alle otto di sera:
mi hai fatto perdere quasi tutto il primo tempo
di Deportivo-Juventus!
karl.



Modificato da - karl il 25/02/2004 23:33:39

[Principe2]

mmm... forse ho spiegato male il quesito.. non bisogna trovare le condizioni per cui siano uguali, ma dimostrare che sono uguali... non c'è nessuna condizione di mezzo.
non so se si arriva a dimostrarlo anche con un noioso calcolo, ma la dimostrazione che possiedo io (che ovviamente non è mia!) fa molto uso della fantasia...

p.s. mi dispiace di averti fatto perdere il primo tempo, ma.... l'aritmetica è l'aritmetica

ciao ,ubermensch

[Pachito1]

citazione:

---

dimostrare che se

---

citazione:

---

non bisogna trovare le condizioni per cui siano uguali

---

citazione:

---

ma dimostrare che sono uguali

---

Non lo sono, se non alle condizioni dette da Karl. In generale è falso.
Forse quello che hai tu è un modo più rapido ed elegante per dimostrare quello che Karl ha fatto con noiosi conti.



Modificato da - pachito il 26/02/2004 09:56:18

[Principe2]

credo che non ci siamo capiti bene. che le due frazioni siano uguali è una ipotesi!!: se quelle sono uguali dimostrare che sono anche la terza è uguale alle altre.
faccio un esempio: poniamo a=1, b=2, c=4, d=8, che non verificano nessuna delle due condizioni trovate da Karl; eppure basta fare una semplice sostituzione per verificare che tutte e tre le frazioni sono uguali a zero.

p.s. avrete notato che i numeri non sono stati scelti proprio a caso... tuttavia c'è un altro salto che bisogna fare...

ciao, ubermensch

[Pachito1]

citazione:

---

poniamo a=1, b=2, c=4, d=8, che non verificano nessuna delle due condizioni trovate da Karl

---

citazione:

---

ac-ad+bc+bd-b^2-c^2=0

---

Sostituendo a=1, b=2, c=4, d=8 alla precedente:
1·4 - 1·8 + 2·4 + 2·8 - 2^2 - 4^2 = 0
Dunque funziona anche con questi.

citazione:

---

credo che non ci siamo capiti bene. che le due frazioni siano uguali è una ipotesi!!

---

Credo che sei stato molto chiaro, ma le due equazioni di Karl sono nient'altro che una conseguenza di dette ipotesi.

Se
ac - b^2 bd - c^2
-------------- = -------------
a - 2b + c b - 2c + d

allora

1)b=c
oppure
2)ac-ad+bc+bd-b^2-c^2=0

dunque

Per tali relazioni sono uguali anche la terza e la prima e quindi lo sono tutte e tre le frazioni.

Anche se

La verifica e' facile anche se un po' faticosa.

Almeno credo.

[Principe2]

mi sono dimenticato bd!!

avete ragione!! posto la "mia" dimostrazione:

poniamo le due frazioni uguali a K e lavoriamo separatamente sulle due;
la prima può essere scritta nel seguente modo:

ac - ak - ck = b^2 - 2bk

sommando e sottraendo k^2 abbiamo

(a-k)(c-k) = (b-k)^2

che esprime il fatto che a-k, b-k e c-k sono in progressione geometrica.

analogamente, la seconda frazione equivale alla seguente equazione:

(b-k)(d-k) = (c-k)^2

che esprime il fatto che b-k, c-k, d-k sono in progressione geometrica.
in conclusione a-k, b-k,c-k,d-k sono in progressione geometrica;
ma ciò significa che:

(a-k)(d-k) = (b-k)(c-k) che, si può facilmente verificare, equivale alla tesi.

carina no?

nota 1: se b=c, allora la ragione della progressione è 1; ne consegue che a=b=c=d e, si vede facilmente, vale anche la seconda condizione di Karl

nota 2: a questo punto non resta da concludere che la condizione trovata da Karl è la condizione che devono verificare quattro numeri affinchè, a meno di un addendo comune, siano in progressione geometrica.

ciao, ubermensch

p.s.
scusami pachito, avevo frainteso le tue parole: quando hai detto " non è detto che sono uguali" pensavo ti riferissi alle tre frazioni nel senso che, data l'eguaglianza delle prime due, affinchè fossero uguali alla terza, dovessero verificare una ulteriore condizione, e non alle prime due!



Modificato da - ubermensch il 26/02/2004 18:13:13

Modificato da - ubermensch il 26/02/2004 21:11:31

[Pachito1]

Ultimamente su questo "in generale" ho avuto diversi problemi di comprensione.