Un omomorfismo "estende in modo unico": che significa?
Ogni tanto incontro questa espressione di cui non capisco il significato: l'omomorfismo da A a B estende in modo unico all'omomorfismo da C a B.
Esempio:
La dimostrazione della proposizione consiste nel fatto che dall'esistenza dimostrata precedentemente di un unico omomorfismo da N a G come monoidi si deduce (per costruzione) l'esistenza di un unico omomorfismo da Z a G come gruppi. E' questo il significato di "estende in modo unico"?
Non si dice nulla, però (a meno che non sia implicito, o tra le righe), di quello che mi sembra rappresentato nel diagramma: che componendo l'omomorfismo da Z a G con un omomorfismo j da N a Z (che non so come sia fatto) si ottiene l'omomorfismo da N a G.
Esempio:
La dimostrazione della proposizione consiste nel fatto che dall'esistenza dimostrata precedentemente di un unico omomorfismo da N a G come monoidi si deduce (per costruzione) l'esistenza di un unico omomorfismo da Z a G come gruppi. E' questo il significato di "estende in modo unico"?
Non si dice nulla, però (a meno che non sia implicito, o tra le righe), di quello che mi sembra rappresentato nel diagramma: che componendo l'omomorfismo da Z a G con un omomorfismo j da N a Z (che non so come sia fatto) si ottiene l'omomorfismo da N a G.
Risposte
Inizio con una domanda scema: qual è la funzione "ovvia" da \(\mathbb{N}\) a \(\mathbb{Z}\)?
Ciao!!! 
Come funzione ovvia mi viene in mente $f(n)=n$...
Come funzione ovvia mi viene in mente $f(n)=n$...
Quello è esattamente il \(j\) del diagramma.
Brava; ti ricordi che \(\displaystyle\mathbb{Z}\) è (a meno di isomorfismi di gruppi) il gruppo ciclico infinito?
I gruppi ciclici non li ho fatti ma se ho capito bene dalla wiki Z è ciclico infinito perché è $1^n = n$, dove l'operazione che qui si esprime come elevamento a potenza è la somma.
Ahhh forse ho capito: se chiamo $h$ la funzione tratteggiata nel diagramma, per ora anonima, ho che $g(n)=hj(n))$. Siccome la funzione $j$ agisce come identità sugli elementi di $n$, allora si estende nel senso che rimane uguale per "la parte N", mentre bisogna definirla per $Z^_$.
Per poter scrivere la composizione h* j in effetti bisogna estendere il codominio di j per farlo diventare codominio di $h$...
Ahhh forse ho capito: se chiamo $h$ la funzione tratteggiata nel diagramma, per ora anonima, ho che $g(n)=hj(n))$. Siccome la funzione $j$ agisce come identità sugli elementi di $n$, allora si estende nel senso che rimane uguale per "la parte N", mentre bisogna definirla per $Z^_$.
Per poter scrivere la composizione h* j in effetti bisogna estendere il codominio di j per farlo diventare codominio di $h$...
Quasi: come dici te stessa
\[
j(1)=1
\]
e \(1\) genera \(\mathbb{Z}\); inoltre conosci \(g(1)\)...
\[
j(1)=1
\]
e \(1\) genera \(\mathbb{Z}\); inoltre conosci \(g(1)\)...
Sempre indicando con h la funzione da Z a G,
h(z)=z se $z\in N $ mentre
h(z)=-h(-z)=-(-z)=z se $z\in Z^- $
?
Mi sa che ho scritto una cosa inutile...
h(z)=z se $z\in N $ mentre
h(z)=-h(-z)=-(-z)=z se $z\in Z^- $
?
Mi sa che ho scritto una cosa inutile...
Caso mai potresti definire:
\[
\forall z\in\mathbb{Z},\,h(z)=\begin{cases}
g(z)\iff z\geq0\\
g(-z)\iff z<0
\end{cases}.
\]
Ma perché funziona?
\[
\forall z\in\mathbb{Z},\,h(z)=\begin{cases}
g(z)\iff z\geq0\\
g(-z)\iff z<0
\end{cases}.
\]
Ma perché funziona?
Ciao Armando, rieccomi.
Funziona perché abbiamo posto j come "funzione scema" (identità per $n\inN$), quindi $g(z)=(h(j(z))$ quando $z>=0$,mentre $g(z)=(h(j(-z))$ quando $z<=0$.
Ho perso un po' il segno, però...
"j18eos":
Caso mai potresti definire:
\[ \forall z\in\mathbb{Z},\,h(z)=\begin{cases} g(z)\iff z\geq0\\ g(-z)\iff z<0 \end{cases}. \]
Ma perché funziona?
Funziona perché abbiamo posto j come "funzione scema" (identità per $n\inN$), quindi $g(z)=(h(j(z))$ quando $z>=0$,mentre $g(z)=(h(j(-z))$ quando $z<=0$.
Ho perso un po' il segno, però...
Sì, hai perso qualche segno... 
...e perché è un omomorfismo?
...e perché è un omomorfismo?
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