Un metodo generale per risolvere le matrici "schematizzate"

[Maxs91]

Ciao ragazzi, sto cercando di ricavare delle formule a valenza generale per una trave continua appoggiata n volte estendendo il problema \(\displaystyle \forall n \).
Ora, ho ricavato "lo schema" generale matriciale per la risoluzione del mio problema, ed è questo:


\(\displaystyle \begin{matrix} A_1 & X_1 & X_2 & X_3 & X_4 & X_5 & X_6 & X_7 & X_8 &A_2 \\
1 & 4 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 4 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 4 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{matrix}
= \begin{matrix} S_1 \\ S_2 \\ S_3 \\ S_4 \\ S_5 \\ S_6 \\ S_7 \\ S_8 \\ B_1 \\ B_2 \end{matrix}

\)

Gli S e B a destra sono termini noti, mentre a sx ho messo la matrice dei coefficienti.
Come potete vedere 1 - 4 -1 scorre sulla diagonale principale, ma questo non basta a costruire una matrice quadrata, e vengono aggiunte due altre righe che sono quelle che hanno come termine noto \(\displaystyle B_1 \) e \(\displaystyle B_2 \).

Ora, vorrei implementare la risoluzione questa matrice in un linguaggio di programmazione, ed evitare di ricorrere ad algoritmi di risoluzione matriciale (una via che ho pensato e proprio questa: costruire la matrice e poi farla risolvere ad una libreria esterna.

Invece, sarebbe più efficiente dal mio punto di vista esplicare le incognite "facendole diventare" una (penso) sommatoria non so se mi spiego. Cioè vorrei in pratica ricavare una formuletta che mi permetta di abbandonare l'approccio matriciale per il calcolo delle varie incognite.

Mi potete consigliare qualcosa per iniziare a muovermi in questo senso?

Spero di essere stato chiaro, grazie a tutti quelli che mi aiuteranno

[gugo82]

Il sistema lineare (in forma matriciale):
\[
\begin{pmatrix} 1 & 4 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} A_1 \\ X_1 \\ X_2 \\ X_3 \\ X_4 \\ X_5 \\ X_6 \\ X_7 \\ X_8 \\ A_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} S_1 \\ S_2 \\ S_3 \\ S_4 \\ S_5 \\ S_6 \\ S_7 \\ S_8 \\ B_1 \\ B_2 \end{pmatrix}
\]
è equivalente al sistema:
\[
\begin{pmatrix}
4 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 4 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 4 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 4 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} X_1 \\ X_2 \\ X_3 \\ X_4 \\ X_5 \\ X_6 \\ X_7 \\ X_8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} S_1-B_1 \\ S_2 \\ S_3 \\ S_4 \\ S_5 \\ S_6 \\ S_7 \\ S_8-B_2 \end{pmatrix}
\]
che ha associata una matrice tridiagonale.

Come dovresti ben sapere da Algebra Lineare, questi sistemi si possono risolvere "a mano", usando l'algoritmo di riduzione di Gauss.
Se non vuoi sporcarti le mani coi conti, tali sistemi si possono far risolvere ad un qualsiasi software di calcolo che sappia gestire matrici (e.g., MatLab, Mathematica, etc... oppure sul sito http://www.wolframalpha.com)