Un gruppo semplice non ha sottogruppo di indice $2,3,4$
Come da titolo, dimostrare che un gruppo semplice (cioè che non possiede sottogruppi normali non banali) non possiede
sottogruppi (non banali) di indice in ${2,3,4}$.
Non è difficile, anzi con una tecnica credo risaputa si risolve piuttosto facilmente.
sottogruppi (non banali) di indice in ${2,3,4}$.
Non è difficile, anzi con una tecnica credo risaputa si risolve piuttosto facilmente.
Risposte
Ho visto che hai posto lo stesso problema anche su scienzematematiche.it... 
Beh, lì ti hanno già risposto... Vediamo se qualcuno ha voglia di metterla qui...
Un aiuto per quelli che non hanno idea di come si fa...
Un corollario del teorema di Cayley dice che se un gruppo ha un sottogruppo di indice $n$ allora ha un gruppo normale il cui indice che divide $n!$ (per l'esattezza dice che il più grande sottogruppo normale contenuto in quel sottogruppo ha un indice di quel tipo). Questa cosa si dimostra con la stessa azione di $G$ sui laterali...
Beh, lì ti hanno già risposto... Vediamo se qualcuno ha voglia di metterla qui...
Un aiuto per quelli che non hanno idea di come si fa...
Un corollario del teorema di Cayley dice che se un gruppo ha un sottogruppo di indice $n$ allora ha un gruppo normale il cui indice che divide $n!$ (per l'esattezza dice che il più grande sottogruppo normale contenuto in quel sottogruppo ha un indice di quel tipo). Questa cosa si dimostra con la stessa azione di $G$ sui laterali...
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