Un gruppo abeliano è fattoriale

[Yuyu_13]

Buonasera.
Sto leggendo la definizione di monoide fattoriale cioè

$(S,cdot)$ fattoriale $:<\=\>$ 1) $(S,cdot)$ monoide commutativo regolare;

2) $forall a in S$ tale che $a$ non invertibile si eprime come prodotto di irriducibili e se

$a=p_1...p_s=q_1...q_t$ con $q_i, p_j$ irriducibili, si ha $s=t$ e, a meno dell'ordine $q_i $ ~ $ p_j$

Viene fornito come esempio: un gruppo abeliano è sempre un monoide fattoriale. Questo non mi torna, perché, in un gruppo ogni elemento non nullo è sempre invertibile, e quindi la 2) non mai è verificata.

[Studente Anonimo]

Al contrario, siccome non ci sono elementi non invertibili la (2) è sempre verificata.

[Yuyu_13]

Ahhh però è strana come cosa. Quindi la 2) la posso pensare in questi termini

$forall x in X: x in P$ è equivalente a dire \(\displaystyle \not\exists x \in X : x \in P \)

[Studente Anonimo]

Assolutamente no. Dico che le implicazioni con premessa falsa sono vere.

[Yuyu_13]

Ok grazie