Un errore imbarazzante sulle congruenze simultanee

[dissonance]

Guardate cosa ho combinato oggi, leggendo questo articolo di Wikipedia:

http://en.wikipedia.org/wiki/Method_of_ ... bstitution

Ho pensato di fare da me a questa maniera: partendo da

\[\begin{cases} x \equiv 3 \mod 4 \\ x \equiv 5 \mod 6\end{cases}\]

e seguendo Wikipedia, ho riscritto la prima equazione come \(x=3+4j\) (\(j \in \mathbb{Z}\)), ho sostituito nella seconda e infine ho normalizzato dividendo la seconda equazione per \(2\). Ho così ottenuto il problema equivalente

\[\begin{cases} x=3+4j & j \in \mathbb{Z} \\ 2j \equiv 1 \mod 3 & \end{cases}\]

E fin qui va ancora tutto bene. Infatti, risolvendo la seconda congruenza (una soluzione è \(j=1\)) e sostituendo nella prima si ottiene il risultato corretto \(x \equiv 11 \mod 12\).

Ma sentite cosa ho combinato io. Invece di risolvere la seconda congruenza l'ho riscritta come \(2j=1+3k\). Poi ho sostituito nella prima: \(x=3+2(2j)=3+2+6k=5+6k\). Infine ho trionfalmente concluso che la soluzione è \(x=5\) ed è unica modulo 6 (?!?!). Inutile dire che il risultato è clamorosamente sbagliato.

Dov'è l'errore? Ho evidentemente giocato in modo troppo allegro con \(j\) e \(k\), ma perché esattamente? Io non riesco proprio a vederlo.

Grazie!

[Gi81]

"dissonance":Ma sentite cosa ho combinato io. Invece di risolvere la seconda congruenza l'ho riscritta come \(2j=1+3k\). Poi ho sostituito nella prima: \(x=3+2(2j)=3+2+6k=5+6k\). Infine ho trionfalmente concluso che la soluzione è \(x=5\) ed è unica modulo 6

Credo che il problema sia il seguente: $k$ non può essere un intero qualunque, ma solo un intero dispari.
Infatti hai il vincolo $2j=1+3k$ che ti obbliga ad avere $k$ del tipo $2h+1$
Quindi la soluzione è $x=5+6k=5+6+12h=11+6h$


Per vederlo meglio, occorreva passare da $2j-=1_(mod3)$ a $j-=2_(mod3)$. A questo punto scrivevi $j=2+3m$, con $m in ZZ$.
Sostituendo nella prima avevi $x=3+4(2+3m)$, ovvero $x=11+12m$, con $m in ZZ$

[dissonance]

Aaahhnnn ecco... Ottima osservazione Gi8!!! Eh si è vero: \(j\) è libero ma \(k\) no, e di questo dovrei tenere conto quando sostituisco in \(x=3+4j\). Se invece, come fa Wikipedia, avessi avuto l'accortezza di riscrivere \(2j \equiv 1 \mod 3\) eliminando prima il \(2\) avrei potuto riscrivere \(j\) in funzione di un \(k\) libero pervenendo così al risultato corretto.

Grande Gi8!!! Grazie mille!