Un anello senza unità che contiene un anello con unità?

[dissonance]

Può succedere che un anello $A$ senza unità contenga un sottoanello $R$ con unità? Oggi mi è venuta questa curiosità, mi sono risposto di si ma non sono riuscito a fabbricare un esempio (non rivedo gli anelli da più di un anno ormai ). Che ne dite?

[vict85]

Ci sono ragioni per cui penso non sia possibile ed altre che mi spingono a pensare che forse lo è.

Personalmente credo che potresti trovare un esempio usando un anello finito che contiene $F_2$. Per la sua semplicità non dovrebbe dare problemi (in fondo è solo un elemento il cui quadrato è se stesso). Usando una tabella magari lo puoi creare...

[dissonance]

Ciao vict! Purtroppo con la strada che hai indicato non sono riuscito a cavare un ragno dal buco. Invece credo di avere trovato un esempio di natura analitica, lo propongo:
Detta $T$ la circonferenza goniometrica. sia $L^1(T)$ l'insieme delle funzioni $f:T\toRR$ misurabili e tali che $int_{-pi}^pi|f(t)|"d"t $f\star g(x)=1/(2pi)int_{-pi}^pif(x-t)g(t)"d"t$.
Si tratta di un anello senza unità per questioni di carattere analitico che se necessario possiamo approfondire. Inoltre contiene il sottoanello delle costanti $C={lambda\inRR}$, e per ogni $lambda, mu\in C$ risulta che $lambda\star mu(x)=lambda mu$. Quindi $C$ è isomorfo a $RR$ e pertanto è anello con unità $1$.

[edit] corretta la definizione di $L^1(T)$.

[Lorin1]

Non si potrebbe ragionare anche con gli ideali?

Cioè se $A$ è un anello e $B$ è un sottoanello allora se $A$ è unitario può essere che $B$ sia unitario (allora poi si va a ragionare sul fatto che se $A$ e $B$ hanno la stessa unità allora $A=B$). Mentre se $A$ non è unitario allora $B$ non ha l'unità.

Premetto che ho da poco finito il corso di algebra I, quindi non ho le stesse conoscenze che avete sicuramente voi. Quindi mi scuso se ho detto delle cose assurde. Grazie.

[dissonance]

"Lorin":Cioè se $A$ è un anello e $B$ è un sottoanello allora se $A$ è unitario può essere che $B$ sia unitario (allora poi si va a ragionare sul fatto che se $A$ e $B$ hanno la stessa unità allora $A=B$).

Volevi dire "ideale" invece di "sottoanello"?

Mentre se $A$ non è unitario allora $B$ non ha l'unità.

E' proprio qui il punto. Io non credo che quanto dici sia vero (sempre che $B$ sia un sottoanello e non un ideale), ma purtroppo l'esempio con cui me ne sono uscito è piuttosto complicato.

Premetto che ho da poco finito il corso di algebra I, quindi non ho le stesse conoscenze che avete sicuramente voi.

Sicuramente mi batti, allora! Queste cose mi piacevano tanto ma poi non ho avuto occasione di riutilizzarle e sono finite nel dimenticatoio.

[Gatto891]

Premetto che anch'io non ne so molto... comunque, dato un insieme $A$ che dotato di due operazioni sia un anello, un sottoanello $B$ è un sottoinsieme di $A$ chiuso rispetto alle operazioni che rendono $A$ un anello... ma in tal caso, se $B$ possiede l'unità, dovrebbe possederla anche $A$ perchè $B$ è un sottoinsieme di $A$ no?

[Lorin1]

"Gatto89":Premetto che anch'io non ne so molto... comunque, dato un insieme $A$ che dotato di due operazioni sia un anello, un sottoanello $B$ è un sottoinsieme di $A$ chiuso rispetto alle operazioni che rendono $A$ un anello... ma in tal caso, se $B$ possiede l'unità, dovrebbe possederla anche $A$ perchè $B$ è un sottoinsieme di $A$ no?

In sostanza era quello che volevo dire io. Anzi mi scuso se non sono stato sufficientemente chiaro.

[neopeppe89]

sisi gatto89 credo sia proprio come dici tu perchè il problema sta nel fatto che nel sottoanello le operazioni sono le stesse. Però ho questo esempio interessante :

$K={[0]_15, [3]_15, [6]_15, [9]_15, [12]_15} sub ZZ_15 $.

Risulta essere un anello commutativo con unità pari a $[6]_15 $ però non so se si possa "manipolare" $ZZ_15$ per renderlo un anello senza unità. suggerimenti?

[ViciousGoblin]

Mi immischio di nuovo in questioni di cui non sono esperto....
In realta' il controesempio di dissonance a me convinceva, ma probabilmente "tra voi algebristi" si voleva qualcosa di piu' elementare ...
Cercando di usare l'idea di dissonance per costruire un controsempio piu' facile (pensavo di prendere le costanti piu' i multipli di $e^i(x-x_0)$) sono pervenuto alla seguente conclusione:

ma se $A_1$ e' un anello con unita' e $A_2$ e' un anello senza identita'non si puo' costruire il prodotto cartesiano $A:=A_1\times A_2$ in cui
$(a_1,b_1)+(a_2,b_2)=(a_1+a_2,b_1+b_2$ e $(a_1,b_1)(a-2,b_2)=(a_1a_2,b_1b_2)$ ?
Se non capisco male (ho guardato http://it.wikipedia.org/wiki/Anello_%28algebra%29) $A$ ha una struttura di anello che contiene due
sottoanelli $A_1\times{0_B}$ e ${0_A}\times A_2$ - se ne ricava che $A$ non ha identita' (perche' $A_2$ non ce l'ha), ma $A_1\times{0_B}$ ha identita'.

Forse mi sfugge qualche fatto elementare che rende idiota il mio ragionamento.

[rubik2]

"dissonance":Ciao vict! Purtroppo con la strada che hai indicato non sono riuscito a cavare un ragno dal buco. Invece credo di avere trovato un esempio di natura analitica, lo propongo:
Detta $T$ la circonferenza goniometrica. sia $L^1(T)$ l'insieme delle funzioni $f:T\toRR$ misurabili e tali che $int_{-pi}^pi|f(t)|"d"t $f\star g(x)=1/(2pi)int_{-pi}^pif(x-t)g(t)"d"t$.
Si tratta di un anello senza unità per questioni di carattere analitico che se necessario possiamo approfondire. Inoltre contiene il sottoanello delle costanti $C={lambda\inRR}$, e per ogni $lambda, mu\in C$ risulta che $lambda\star mu(x)=lambda mu$. Quindi $C$ è isomorfo a $RR$ e pertanto è anello con unità $1$.

[edit] corretta la definizione di $L^1(T)$.

il tuo esempio mi pare funzionare, io ho visto la dimostrazione della non-esistenza dell'unità nel caso di dominio $RR^N$ immagino che sarà qualcosa di simile.

mi pare anche che l'esempio di ViciousGoblin funzioni.

Voglio aggiungere che se $BsubA$, $x*e=e*x\quad AA x in B$ è più debole come richiesta di $x*e=e*x\quad AA x in A$

esiste anche un esempio banale se prendiamo $B={0}subA$ con $A$ anello allora $B$ è un anello con le stesse operazioni di $A$ ed ha unità $0$ necessariamente diversa dall'unità di $A$ se questo la possiede e non è anche lui banale.

[mistake89]

"Gatto89":Premetto che anch'io non ne so molto... comunque, dato un insieme $A$ che dotato di due operazioni sia un anello, un sottoanello $B$ è un sottoinsieme di $A$ chiuso rispetto alle operazioni che rendono $A$ un anello... ma in tal caso, se $B$ possiede l'unità, dovrebbe possederla anche $A$ perchè $B$ è un sottoinsieme di $A$ no?

in realtà non è detto: un sottoanello unitario non conserva necessariamente la stessa identità dell'anello.

[Gatto891]

"mistake89":[quote="Gatto89"]Premetto che anch'io non ne so molto... comunque, dato un insieme $A$ che dotato di due operazioni sia un anello, un sottoanello $B$ è un sottoinsieme di $A$ chiuso rispetto alle operazioni che rendono $A$ un anello... ma in tal caso, se $B$ possiede l'unità, dovrebbe possederla anche $A$ perchè $B$ è un sottoinsieme di $A$ no?

in realtà non è detto: un sottoanello unitario non conserva necessariamente la stessa identità dell'anello.[/quote]

Beh l'avevo detto che non ero molto ferrato in questo argomento, comunque in che senso? Puoi farmi un esempio?

[alvinlee881]

Per esempio in $ZZ//6ZZ$ l'unità è $bar1$, mentre nel sottonanello $3ZZ//6ZZ={bar0,bar3}$ l'unità è $bar3$, poichè $bar0*bar3=bar0$, $bar3*bar3=bar9=bar3$.

[dissonance]

L'idea di V.G. funziona a meraviglia. Per dirne una, $ZZ\times 2ZZ={(n, 2m)}$, con somma e prodotto componente per componente, non ha l'unità ma $ZZ\times{0}$ si: $(1, 0)$.