Uguaglianza tra $<a><b>$ e $<a,b>$

[dark121it]

Salve a tutti,
volevo alcuni chiarimenti sui gruppi generati da due elementi.
Sia $G$ un gruppo (utilizzerò la notazione moltiplicativa) e siano $x,y \in G$
Pongo
$:={x^i y^j | i,j \in Z}$

$:=<{x,y}>$
ovvero il secondo insieme è il sottogruppo generato da ${x,y}$. Si prova che $$ coincide con l'insieme di tutte le combinazioni (prodotti) di elementi di ${x,y,x^-1,y^-1}$.
Ora, è chiaro che $ \subset $.
Quando è vero il viceversa? Sicuramente è vero se $G$ è abeliano.
Domande:
1) Potete confermare quanto ho scritto sin ora?
2) C'è una caratterizzazione di $ = $ ?

[Studente Anonimo]

In generale se [tex]A,B[/tex] sono due sottogruppi di un gruppo [tex]G[/tex] allora

[tex]AB \leq G[/tex] se e solo se [tex]AB=BA[/tex].

Prova a dimostrarlo, non è difficile.

Naturalmente ne segue che [tex]\langle x \rangle \langle y \rangle = \langle x,y \rangle[/tex] se e solo se [tex]\langle x \rangle \langle y \rangle = \langle y \rangle \langle x \rangle[/tex].

Non so se questo ti soddisfa

[dark121it]

Fatto!! Direi che mi soddisfa pienamente!
In pratica ogni volta che $$ è un sottogruppo abbiamo l'uguaglianza!

Grazie mille!