Uguaglianza di strutture relazionali e algebriche
Salve a tutti,
trovo per la prima volta la parola struttura relazionale, chiesi al mio docente ed lui mi disse che è una scrittura del tipo $(A;r)$ ove $A$ è un insieme qualsiasi e $r$ una relazione binaria in $A$... Io gli dissi "una coppia ordinata quindi? " e lui mi rispose "non per forza", lui prefrisce non presentarla come coppia ordinata.
Navigando un pò sul web però vedo che molti la presentano come coppia ordinata.
..
Supponiamo che io non la presenti come coppia ordinata, solamente ora me ne accorgo, l'uguaglianza tra struttrue relazioni o tra strutture algebriche (mi riferisco anche alle strutture algebriche perchè lui le presentò non come coppie ordinata ma, supergiù come le strutture relazionali ove $r$ era, però, un'operazione binaria in $A$) come andrebbe definita?
Se fosserro coppie ordinate l'uguaglianza la conosciamo tra queste... ma nel mio caso non saprei come pensare.
Cordiali saluti
trovo per la prima volta la parola struttura relazionale, chiesi al mio docente ed lui mi disse che è una scrittura del tipo $(A;r)$ ove $A$ è un insieme qualsiasi e $r$ una relazione binaria in $A$... Io gli dissi "una coppia ordinata quindi? " e lui mi rispose "non per forza", lui prefrisce non presentarla come coppia ordinata.
Navigando un pò sul web però vedo che molti la presentano come coppia ordinata.
..Supponiamo che io non la presenti come coppia ordinata, solamente ora me ne accorgo, l'uguaglianza tra struttrue relazioni o tra strutture algebriche (mi riferisco anche alle strutture algebriche perchè lui le presentò non come coppie ordinata ma, supergiù come le strutture relazionali ove $r$ era, però, un'operazione binaria in $A$) come andrebbe definita?
Se fosserro coppie ordinate l'uguaglianza la conosciamo tra queste... ma nel mio caso non saprei come pensare.
Cordiali saluti
Risposte
Provo a rispondere. Qualcuno mi smentisca se deve.
Siano $A , B$ strutture algebriche.
Allora $A$ = $B$ se e solo se sono descritte allo stesso modo. Mi spiego meglio, fornendo degli esempi.
Prendi $(A,+) , (B,+)$ come gruppi. Supponiamo che $A$ sia abeliano.
Allora sono strutturalmente sono uguali se e solo se anche $B$ è abeliano.
Più in generale, prendi $(A,r) $ , $(B, r')$ dove $r,r'$ sono operazioni binarie.
Supponiamo che $r : AxA -> A$ e $r' : BxB -> B$. Supponiamo che $r$ sia associativa, mentre $r'$ no. E non definisiamo altre proprietà per $r,r'$
Allora , $(A,r) != (B,r')$
Mentre se $r, r'$ sono associative, allora
$(A,r) = (B,r')$.
Attenzione che si intende che sia identica la struttura.
Non segue in generale questa implicazione :
$(A,r) = (B,r') => A=B , r=r'$.
Siano $A , B$ strutture algebriche.
Allora $A$ = $B$ se e solo se sono descritte allo stesso modo. Mi spiego meglio, fornendo degli esempi.
Prendi $(A,+) , (B,+)$ come gruppi. Supponiamo che $A$ sia abeliano.
Allora sono strutturalmente sono uguali se e solo se anche $B$ è abeliano.
Più in generale, prendi $(A,r) $ , $(B, r')$ dove $r,r'$ sono operazioni binarie.
Supponiamo che $r : AxA -> A$ e $r' : BxB -> B$. Supponiamo che $r$ sia associativa, mentre $r'$ no. E non definisiamo altre proprietà per $r,r'$
Allora , $(A,r) != (B,r')$
Mentre se $r, r'$ sono associative, allora
$(A,r) = (B,r')$.
Attenzione che si intende che sia identica la struttura.
Non segue in generale questa implicazione :
$(A,r) = (B,r') => A=B , r=r'$.
Salve Kashaman,
ti ringrazio per la risposta, diciamo di aver intuito l'uguaglianza tra due strutture relazionali o algebriche, ma più formalmente non si potrebbe fare?
Anche perchè, se io allora le definissi come coppie ordinate l'uguaglianza come sarebbe visto che ciò che importa, detto intuitivamente, è che abbiano uguale struttura?
Cordiali saluti
ti ringrazio per la risposta, diciamo di aver intuito l'uguaglianza tra due strutture relazionali o algebriche, ma più formalmente non si potrebbe fare?
Anche perchè, se io allora le definissi come coppie ordinate l'uguaglianza come sarebbe visto che ciò che importa, detto intuitivamente, è che abbiano uguale struttura?
Cordiali saluti
Guarda, la mia risposta data in precedenza è un po dettata dall' intuito. Però il fatto è che forse si male intende il concetto di coppia ordinata.
Prendi ad esempio $AxB = { (a,b) | a in A , b in B}$ allora se prendiamo $(a,b) , (a',b') in AxB$
possiamo dire che $(a,b)=(a',b') <=> a=a' , b=b'$ diamo è un estensione di uguaglianza tra elementi dello stesso insieme.
Però il concetto di coppia ordinata nelle strutture algebriche è un po diverso.
Cioè se noi abbiamo $A$ un insieme, $r, s, t , z $ Operazioni. Supponiamo che $r, s, t , z $ godano di ben determinate proprietà.
Allora la quintupla ordinata $(A,r,s,t,z)$ viene detta struttura algebrica, la quale si costruisce su $A$. Chi sia effettivamente $A$ è irrilevante.
Ora considera $r',s',t',z'$ operazioni , le quali godono di ben determinate proprietà. Allora, possiamo costruire su A un'altra struttura del tipo $(A,r', s', t' , z')$.
Quando possiamo dire che $(A,r,s,t,z) =(A,r',s',t',z')$? A mio avviso quando le operazioni godono tutte delle stesse proprietà. In tal caso la prima struttura sarebbe isomorfa alla seconda.
Se sostituisci $B$ ad una delle due, dove $B$ è un insieme non vuoto, allora se le operazioni si comportano allo stesso modo sia nella prima che nella seconda struttura, potremmo dire che $(A,r,s,t,z) =(B,r',s',t',z')$ pur essendo $B!=A$.
In linea di massima, la risposta breve che darei alla tua domanda è la seguente :
Siano $A_1,A_2,A_3,.........A_n$ strutture algebriche dello stesso tipo. Allora $A_i = A_j$ con $ 1<=i<=n ,1<=j<=n$
Se e solo se $A_i $ è isomorfo ad $A_j$ . Cioè se e solo se esiste un'applicazione bigettiva $f : A_i -> A_j$ tale che conserva le "operazioni".
Spero di non aver detto cantonate
in tal caso, qualcuno mi smentisca.
Nota : Che abbia scelto una quintupla è irrilevante, su un insieme posso metterci anche $n$ operazioni ..
Nota 2 : forse bisogna mettere anche qualche condizione anche sugli insiemi "supporto".
Direi che date due strutture costruite su $A e B$. Se vogliamo che queste strutture siano uguali (vedi sopra).
Può accadere che $A!=B$ Ma $card(A)=card(B)$
Prendi ad esempio $AxB = { (a,b) | a in A , b in B}$ allora se prendiamo $(a,b) , (a',b') in AxB$
possiamo dire che $(a,b)=(a',b') <=> a=a' , b=b'$ diamo è un estensione di uguaglianza tra elementi dello stesso insieme.
Però il concetto di coppia ordinata nelle strutture algebriche è un po diverso.
Cioè se noi abbiamo $A$ un insieme, $r, s, t , z $ Operazioni. Supponiamo che $r, s, t , z $ godano di ben determinate proprietà.
Allora la quintupla ordinata $(A,r,s,t,z)$ viene detta struttura algebrica, la quale si costruisce su $A$. Chi sia effettivamente $A$ è irrilevante.
Ora considera $r',s',t',z'$ operazioni , le quali godono di ben determinate proprietà. Allora, possiamo costruire su A un'altra struttura del tipo $(A,r', s', t' , z')$.
Quando possiamo dire che $(A,r,s,t,z) =(A,r',s',t',z')$? A mio avviso quando le operazioni godono tutte delle stesse proprietà. In tal caso la prima struttura sarebbe isomorfa alla seconda.
Se sostituisci $B$ ad una delle due, dove $B$ è un insieme non vuoto, allora se le operazioni si comportano allo stesso modo sia nella prima che nella seconda struttura, potremmo dire che $(A,r,s,t,z) =(B,r',s',t',z')$ pur essendo $B!=A$.
In linea di massima, la risposta breve che darei alla tua domanda è la seguente :
Siano $A_1,A_2,A_3,.........A_n$ strutture algebriche dello stesso tipo. Allora $A_i = A_j$ con $ 1<=i<=n ,1<=j<=n$
Se e solo se $A_i $ è isomorfo ad $A_j$ . Cioè se e solo se esiste un'applicazione bigettiva $f : A_i -> A_j$ tale che conserva le "operazioni".
Spero di non aver detto cantonate
in tal caso, qualcuno mi smentisca.Nota : Che abbia scelto una quintupla è irrilevante, su un insieme posso metterci anche $n$ operazioni ..
Nota 2 : forse bisogna mettere anche qualche condizione anche sugli insiemi "supporto".
Direi che date due strutture costruite su $A e B$. Se vogliamo che queste strutture siano uguali (vedi sopra).
Può accadere che $A!=B$ Ma $card(A)=card(B)$
Salve Kashaman,
grazie mille della delucidazione, parlando con alcuni amici della facoltà di matematica venni a sapere che è improrio l'uso di strutture uguali, per loro è più corretto/rigoroso utilizzare il termine "omologhe" dicendomi che date due strutture algebriche $struct_1$ e $struct_2$, queste sono omologhe se esiste una corrispondenza biunivoca tra le loro leggi di composizione, che associ ad ogni legge interna dell'una una legge interna dell'altra, ed ad ogni legge esterna dell'una una legge estersa dell'altra purchè abbiano il medesimo dominio degli operatori.
Qui però non vi vedo alcuna condizione in merito alla cardinalità da te posta... chissà se è la stessa cosa..
Anche perchè come si potrebbe scrivere in termini di predicati e variabili (quantificati o meno) la def. di strutture omologhe.
Aspetto un chiarimento!
Grazie di tutto!
Cordiali saluti
P.S.=Penso che la cosa sia strettamente legata, anche, alla teoria dei modelli... mò vediamo!
grazie mille della delucidazione, parlando con alcuni amici della facoltà di matematica venni a sapere che è improrio l'uso di strutture uguali, per loro è più corretto/rigoroso utilizzare il termine "omologhe" dicendomi che date due strutture algebriche $struct_1$ e $struct_2$, queste sono omologhe se esiste una corrispondenza biunivoca tra le loro leggi di composizione, che associ ad ogni legge interna dell'una una legge interna dell'altra, ed ad ogni legge esterna dell'una una legge estersa dell'altra purchè abbiano il medesimo dominio degli operatori.
Qui però non vi vedo alcuna condizione in merito alla cardinalità da te posta... chissà se è la stessa cosa..
Anche perchè come si potrebbe scrivere in termini di predicati e variabili (quantificati o meno) la def. di strutture omologhe.
Aspetto un chiarimento!
Grazie di tutto!
Cordiali saluti
P.S.=Penso che la cosa sia strettamente legata, anche, alla teoria dei modelli... mò vediamo!
Garnak, come specificai in uno dei post qui presenti, sono del primo anno del cdl in Matematica, quindi le mie supposizioni vengono dal fatto che ho in un certo senso ho "astratto" le condizioni dalle strutture algebriche che ho studiato finora,che sono abbastanza limitate,cioè anelli, gruppi, campi, corpi, spazi vettoriali. Quindi se vuoi una assiomatizzazione più precisa , penso che qualcuno più bravo di me , o meglio più preparato,saprà darti.
Però il fatto della cardinalità ha un senso.
Il fatto che esista una corrispondenza biunivoca implica che i due insiemi, abbiano la stessa cardinalità.
A meno di non dire cantonate, penso che il concetto di "isomorfismo" sia proprio un po di tutte le strutture algebriche.
E due strutture sono isomorfe se esiste una corrispondenza biunivoca tra i due insiemi che conserva le operazioni.
Il fatto che le strutture siano omologhe , vuol dire che sono dello stesso tipo. Cioè $A , B$ gruppi.
$A=B$ (per la struttura ) $<=> $ $A$ isomorfo a $B$.. cosi come per le altre strutture.
Oppure prendi $V_1, V_2$ spazi vettoriali.
$V_1 = V_2$ se e solo se esiste $L : V_1-> V_2$ tale che sia lineare... (che è un po come dire se esiste un omomorfismo) e tale che $kerL = { 0}$ ... ove $0$ è il vettore nullo...
Per assiomatizzazioni più precise , mi tengo fuori. Sono sicuro che altri sapranno dartele,
cordiali saluti!
Però il fatto della cardinalità ha un senso.
Il fatto che esista una corrispondenza biunivoca implica che i due insiemi, abbiano la stessa cardinalità.
A meno di non dire cantonate, penso che il concetto di "isomorfismo" sia proprio un po di tutte le strutture algebriche.
E due strutture sono isomorfe se esiste una corrispondenza biunivoca tra i due insiemi che conserva le operazioni.
Il fatto che le strutture siano omologhe , vuol dire che sono dello stesso tipo. Cioè $A , B$ gruppi.
$A=B$ (per la struttura ) $<=> $ $A$ isomorfo a $B$.. cosi come per le altre strutture.
Oppure prendi $V_1, V_2$ spazi vettoriali.
$V_1 = V_2$ se e solo se esiste $L : V_1-> V_2$ tale che sia lineare... (che è un po come dire se esiste un omomorfismo) e tale che $kerL = { 0}$ ... ove $0$ è il vettore nullo...
Per assiomatizzazioni più precise , mi tengo fuori. Sono sicuro che altri sapranno dartele,
cordiali saluti!
Salve Kashaman,
io ti ringrazio moltissimo, hai pur sempre contribuito nel mettere alcuni paletti per una precisa formalizzazione in seguito... per quanto riguarda la questione sulla cardinalità penso che è pur sempre utile una simile condizione...
In attesa di ulteriori chiarimenti ti pongo i miei più cordiali saluti
"Kashaman":
Garnak, come specificai in uno dei post qui presenti, sono del primo anno del cdl in Matematica, quindi le mie supposizioni vengono dal fatto che ho in un certo senso ho "astratto" le condizioni dalle strutture algebriche che ho studiato finora,che sono abbastanza limitate,cioè anelli, gruppi, campi, corpi, spazi vettoriali. Quindi se vuoi una assiomatizzazione più precisa , penso che qualcuno più bravo di me , o meglio più preparato,saprà darti.
Però il fatto della cardinalità ha un senso.
Il fatto che esista una corrispondenza biunivoca implica che i due insiemi, abbiano la stessa cardinalità.
A meno di non dire cantonate, penso che il concetto di "isomorfismo" sia proprio un po di tutte le strutture algebriche.
E due strutture sono isomorfe se esiste una corrispondenza biunivoca tra i due insiemi che conserva le operazioni.
Il fatto che le strutture siano omologhe , vuol dire che sono dello stesso tipo. Cioè $A , B$ gruppi.
$A=B$ (per la struttura ) $<=> $ $A$ isomorfo a $B$.. cosi come per le altre strutture.
Oppure prendi $V_1, V_2$ spazi vettoriali.
$V_1 = V_2$ se e solo se esiste $L : V_1-> V_2$ tale che sia lineare... (che è un po come dire se esiste un omomorfismo) e tale che $kerL = { 0}$ ... ove $0$ è il vettore nullo...
Per assiomatizzazioni più precise , mi tengo fuori. Sono sicuro che altri sapranno dartele,
cordiali saluti!
io ti ringrazio moltissimo, hai pur sempre contribuito nel mettere alcuni paletti per una precisa formalizzazione in seguito... per quanto riguarda la questione sulla cardinalità penso che è pur sempre utile una simile condizione...
In attesa di ulteriori chiarimenti ti pongo i miei più cordiali saluti
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