UFD e MCD
Salve a tutti, mi chiedevo, con questa definizione di irriducibile
"a, elemento di un dominio di integità, è irriducibile se a non è 0, non è invertibile e se a=bc allora uno tra b e c è invertibile",
è vero che in un dominio a fattorizzazione (non per forza unica) esiste l'MCD sse ogni irriducibile è primo?
Grazie in anticipo
"a, elemento di un dominio di integità, è irriducibile se a non è 0, non è invertibile e se a=bc allora uno tra b e c è invertibile",
è vero che in un dominio a fattorizzazione (non per forza unica) esiste l'MCD sse ogni irriducibile è primo?
Grazie in anticipo
Risposte
UP!
Ciao. 
Non vorrei dire una scemenza, ma mi pare funzioni: se in un dominio a fattorizzazione (non necessariamente unica), irriducibile $=>$ primo, allora la fattorizzazione è unica.
Quello che voglio dire è questo: sussiste la seguente caratterizzazione degli UFD.
Teorema. Un dominio [tex]$D$[/tex] è UFD sse
(1) ogni irriducibile è primo
(2) per ogni successione [tex]a_1, a_2, \ldots $[/tex] in cui [tex]$a_{j+1} \vert a_{j}$[/tex], allora da un certo punto in poi (per un [tex]$n$[/tex] abbastanza elevato), [tex]a_{n+1}[/tex] è associato ad [tex]a_{n}[/tex] (cioè differiscono per un elemento invertibile). []
Ora, la condizione (2) serve per provare l'esistenza di una decomposizione, mentre è la (1) a garantirne l'unicità.
E' in effetti molto semplice esibire domini in cui la fattorizzazione esiste ma non è unica; più difficile, trovare un dominio in cui qualche elemento non ha decomposizione (bisogna trovare un dominio in cui degli elementi violino la condizione (2)).
Ebbene, per concludere, se tu sai che una decomposizione esiste e che irriducibile $=>$ primo, allora hai davanti un UFD: esiste dunque l'MCD tra due qualsiasi elementi.
Che te ne pare?
Non vorrei dire una scemenza, ma mi pare funzioni: se in un dominio a fattorizzazione (non necessariamente unica), irriducibile $=>$ primo, allora la fattorizzazione è unica.
Quello che voglio dire è questo: sussiste la seguente caratterizzazione degli UFD.
Teorema. Un dominio [tex]$D$[/tex] è UFD sse
(1) ogni irriducibile è primo
(2) per ogni successione [tex]a_1, a_2, \ldots $[/tex] in cui [tex]$a_{j+1} \vert a_{j}$[/tex], allora da un certo punto in poi (per un [tex]$n$[/tex] abbastanza elevato), [tex]a_{n+1}[/tex] è associato ad [tex]a_{n}[/tex] (cioè differiscono per un elemento invertibile). []
Ora, la condizione (2) serve per provare l'esistenza di una decomposizione, mentre è la (1) a garantirne l'unicità.
E' in effetti molto semplice esibire domini in cui la fattorizzazione esiste ma non è unica; più difficile, trovare un dominio in cui qualche elemento non ha decomposizione (bisogna trovare un dominio in cui degli elementi violino la condizione (2)).
Ebbene, per concludere, se tu sai che una decomposizione esiste e che irriducibile $=>$ primo, allora hai davanti un UFD: esiste dunque l'MCD tra due qualsiasi elementi.
Che te ne pare?
Mmmh non mi è chiaro come fai a vedere l'implicazione esiste l'MCD $\implies$ UFD 
"Reginald":
Mmmh non mi è chiaro come fai a vedere l'implicazione esiste l'MCD $\implies$ UFD
Hai ragione, non ho provato questa direzione (mi era sfuggito la doppia s in sse, scusami
). Ci devo pensare.
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