Tutti i gruppi di ordine $48$
Si tratta di trovare, a meno di isomorfismi, tutti i gruppi di ordine $48$.
Il procedimento dovrebbe essere simile a quello intrapreso per determinare tutti i gruppi di ordine $30$ e $2010$ e discussi in post precedenti.
Sia $G$ il gruppo in questione.
Posso scrivere $o(G)=48=2^(4)3$.
Riesco facilmente a trovare i gruppi abeliani di ordine $48$ non isomorfi. Essi sono in numero di $p(4)p(1)$ dove $p(4)$ e $p(1)$ sono rispettivamente il numero delle partizioni di $4$ e di $1$. In pratica è $p(4)p(1)=5$, quindi abbiamo $5$ gruppi abeliani di ordine $48$ a meno di isomorfismi, e questi sono:
$ZZ_16 x ZZ_3$ che è ciclico essendo $(16,3)=1$
$ZZ_2 x ZZ_8 x ZZ_3$
$ZZ_4 x ZZ_4 x ZZ_3$
$ZZ_4 x ZZ_2 x ZZ_2 x ZZ_3$
$ZZ_2 x ZZ_2 x ZZ_2 x ZZ_2 x ZZ_3$
A questo punto dovrei trovare i gruppi non abeliani di ordine $48$.
Sicuramente uno di essi è $Aut(C_3 x C_3)$.
Spiego come sono riuscito a determinarlo.
Dato il gruppo $C_3 x C_3$, abbiamo visto in un altro post che $Aut(C_3 x C_3)$ coincide con il gruppo delle matrici invertibili $2x2$ a coefficienti in $ZZ_3$: $GL(2,3)$, che ha dimensione $(3^2-1)(3^2-3)=48$. Sappiamo anche che $GL(2,3)$ non è abeliano e pertanto $Aut(C_3 x C_3)$ non è compreso tra quelli che ho elencato sopra.
Ora il mio problema consiste nel determinare tutti gli altri gruppi di ordine $48$, non isomorfi tra di loro e non abeliani e non isomorfi a $Aut(C_3 x C_3)$.
Similmente a quanto visto per i gruppi di ordine $30$ e $2010$ vado a determinare i sottogruppi di Silow. Facilmente trovo che, indicato con $n_3$ il numero dei $3-$Sylow di $G$, si ha che o $n_3=1$ (in tale caso il $3-$Sylow è normale in $G$) o $n_3=4$ o $n_3=16$; indicato con $n_2$ il numero dei $2-$Sylow di $G$ si ha che o $n_2=1$ (in tale caso il $2-$Sylow è normale in $G$) o $n_2=3$. In tutti i casi i $3-$Sylow hanno ordine $3$ mentre i $2-$Sylow hanno ordine $16$.
Come potrei procedere?
Non so se possa essere utile il fatto che tutti i gruppi di ordine $48$ non sono semplici.
Grazie
Il procedimento dovrebbe essere simile a quello intrapreso per determinare tutti i gruppi di ordine $30$ e $2010$ e discussi in post precedenti.
Sia $G$ il gruppo in questione.
Posso scrivere $o(G)=48=2^(4)3$.
Riesco facilmente a trovare i gruppi abeliani di ordine $48$ non isomorfi. Essi sono in numero di $p(4)p(1)$ dove $p(4)$ e $p(1)$ sono rispettivamente il numero delle partizioni di $4$ e di $1$. In pratica è $p(4)p(1)=5$, quindi abbiamo $5$ gruppi abeliani di ordine $48$ a meno di isomorfismi, e questi sono:
$ZZ_16 x ZZ_3$ che è ciclico essendo $(16,3)=1$
$ZZ_2 x ZZ_8 x ZZ_3$
$ZZ_4 x ZZ_4 x ZZ_3$
$ZZ_4 x ZZ_2 x ZZ_2 x ZZ_3$
$ZZ_2 x ZZ_2 x ZZ_2 x ZZ_2 x ZZ_3$
A questo punto dovrei trovare i gruppi non abeliani di ordine $48$.
Sicuramente uno di essi è $Aut(C_3 x C_3)$.
Spiego come sono riuscito a determinarlo.
Dato il gruppo $C_3 x C_3$, abbiamo visto in un altro post che $Aut(C_3 x C_3)$ coincide con il gruppo delle matrici invertibili $2x2$ a coefficienti in $ZZ_3$: $GL(2,3)$, che ha dimensione $(3^2-1)(3^2-3)=48$. Sappiamo anche che $GL(2,3)$ non è abeliano e pertanto $Aut(C_3 x C_3)$ non è compreso tra quelli che ho elencato sopra.
Ora il mio problema consiste nel determinare tutti gli altri gruppi di ordine $48$, non isomorfi tra di loro e non abeliani e non isomorfi a $Aut(C_3 x C_3)$.
Similmente a quanto visto per i gruppi di ordine $30$ e $2010$ vado a determinare i sottogruppi di Silow. Facilmente trovo che, indicato con $n_3$ il numero dei $3-$Sylow di $G$, si ha che o $n_3=1$ (in tale caso il $3-$Sylow è normale in $G$) o $n_3=4$ o $n_3=16$; indicato con $n_2$ il numero dei $2-$Sylow di $G$ si ha che o $n_2=1$ (in tale caso il $2-$Sylow è normale in $G$) o $n_2=3$. In tutti i casi i $3-$Sylow hanno ordine $3$ mentre i $2-$Sylow hanno ordine $16$.
Come potrei procedere?
Non so se possa essere utile il fatto che tutti i gruppi di ordine $48$ non sono semplici.
Grazie
Risposte
Scrivo la mia opinione.
Classificare i gruppi di ordine 48 significa in particolare classificare quelli di ordine 16, e questo è già un problema che non saprei bene come affrontare. Conoscere i gruppi di ordine 16 permette di risolvere il caso in cui c'è un solo 2-Sylow. Nell'altro caso ci sono tre 2-Sylow, e conviene considerare la loro intersezione, $O_2(G)$. Si vede che $O_2(G)$ è normale in $G$ e $G//O_2(G) cong S_3$, e a questo punto entra in gioco la coomologia.
Classificare i gruppi di ordine 48 significa in particolare classificare quelli di ordine 16, e questo è già un problema che non saprei bene come affrontare. Conoscere i gruppi di ordine 16 permette di risolvere il caso in cui c'è un solo 2-Sylow. Nell'altro caso ci sono tre 2-Sylow, e conviene considerare la loro intersezione, $O_2(G)$. Si vede che $O_2(G)$ è normale in $G$ e $G//O_2(G) cong S_3$, e a questo punto entra in gioco la coomologia.
Martino non si fa come quello di ordine $16$ ma come quello di ordine $24$...
Come avete detto il gruppo $G$ ha o un gruppo normale di ordine 16 oppure tre sottogruppi di ordine 16 $S_1$, $S_2$, $S_3$.
Il sottoinsieme $S_1S_2$ ha ordine $2^8/2^n$ dove $2^n = |S_1\cap S_2|$. Scritto in altro modo $2^8=2^n|S_1S_2|\ ->\ 2^8\le 2^n|G| -> 2^8\le 3*2^{4+n}$ quindi $n\ge 3$. Siccome però $S_1\cap S_2$ deve essere un sottogruppo proprio allora $|S_1\cap S_2|=2^3$.
$H=S_1\cap S_2$ è un sottogruppo normale di $S_1$ e di $S_2$ essendo di indice $2$. Quindi $S = \langle S_1, S_2\rangle$ è un sottogruppo di $N_G(H)$ e $H$ è normale in $S$. Siccome $S_1S_2 \subset S$ e $|S_1S_2|=2^8/2^3 = 2^5$ allora $G=S$ e quindi $H$ è normale in $G$.
Siccome $H$ è normale e $S_1$, $S_2$ e $S_3$ sono coniugati tra di loro deve aversi $H=S_1\cap S_2=S_1\cap S_3=S_2\cap S_3$.
In altra parole $G$ ha un sottogruppo normale di ordine $16$ oppure ha un sottogruppo normale di ordine $8$. Questo dimostra che i gruppi di ordine $48$ sono risolubili.
Supponiamo che il sottogruppo normale sia quello di ordine $8$. Allora, tenendo la stessa notazione di prima, $|G//H|=6$. Siccome tutti i gruppi di ordine $6$ hanno un sottogruppo normale di ordine 3, componendo le due proiezioni troviamo un omomorfismo da $G$ a $ZZ_2$ e quindi $G$ ha un sottogruppo normale di indice $2$.
Ora si tratterebbe di usare la teoria delle estensioni di gruppi sui gruppi di ordine 16 e 24... D'altra parte i gruppi di ordine 24 sono 12 e quelli di ordine 16 sono 9. Il lavoro quindi divenda decisamente lungo.
P.S: Secondo Pari sono 52... http://pari.math.u-bordeaux.fr/galpol/48/index.html
Come avete detto il gruppo $G$ ha o un gruppo normale di ordine 16 oppure tre sottogruppi di ordine 16 $S_1$, $S_2$, $S_3$.
Il sottoinsieme $S_1S_2$ ha ordine $2^8/2^n$ dove $2^n = |S_1\cap S_2|$. Scritto in altro modo $2^8=2^n|S_1S_2|\ ->\ 2^8\le 2^n|G| -> 2^8\le 3*2^{4+n}$ quindi $n\ge 3$. Siccome però $S_1\cap S_2$ deve essere un sottogruppo proprio allora $|S_1\cap S_2|=2^3$.
$H=S_1\cap S_2$ è un sottogruppo normale di $S_1$ e di $S_2$ essendo di indice $2$. Quindi $S = \langle S_1, S_2\rangle$ è un sottogruppo di $N_G(H)$ e $H$ è normale in $S$. Siccome $S_1S_2 \subset S$ e $|S_1S_2|=2^8/2^3 = 2^5$ allora $G=S$ e quindi $H$ è normale in $G$.
Siccome $H$ è normale e $S_1$, $S_2$ e $S_3$ sono coniugati tra di loro deve aversi $H=S_1\cap S_2=S_1\cap S_3=S_2\cap S_3$.
In altra parole $G$ ha un sottogruppo normale di ordine $16$ oppure ha un sottogruppo normale di ordine $8$. Questo dimostra che i gruppi di ordine $48$ sono risolubili.
Supponiamo che il sottogruppo normale sia quello di ordine $8$. Allora, tenendo la stessa notazione di prima, $|G//H|=6$. Siccome tutti i gruppi di ordine $6$ hanno un sottogruppo normale di ordine 3, componendo le due proiezioni troviamo un omomorfismo da $G$ a $ZZ_2$ e quindi $G$ ha un sottogruppo normale di indice $2$.
Ora si tratterebbe di usare la teoria delle estensioni di gruppi sui gruppi di ordine 16 e 24... D'altra parte i gruppi di ordine 24 sono 12 e quelli di ordine 16 sono 9. Il lavoro quindi divenda decisamente lungo.
P.S: Secondo Pari sono 52... http://pari.math.u-bordeaux.fr/galpol/48/index.html
Grazie ad entrambi per il contributo fornitomi.
Molto interessante il link che ho subito consultato; è confortante vedere che in esso sono riportati tutti i $6$ gruppi di ordine $48$ da me individuati.
Non vi chiedo ovviamente di procedere nei calcoli per determinare esplicitamente gli altri gruppi, ma qualora ne incontraste casualmente - con la dimostrazione - vi sarei grato se me li linkaste al presente post.
Molto interessante il link che ho subito consultato; è confortante vedere che in esso sono riportati tutti i $6$ gruppi di ordine $48$ da me individuati.
Non vi chiedo ovviamente di procedere nei calcoli per determinare esplicitamente gli altri gruppi, ma qualora ne incontraste casualmente - con la dimostrazione - vi sarei grato se me li linkaste al presente post.
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